唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试

理 科 数 学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、
（ ）

A．
B．
C．
D．

3、已知抛物线的焦点
（
），则抛物线的标准方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

4、命题

，
；命题

，函数
的图象过点
，则（ ）

A．
假
真 B．
真
假

C．
假
假 D．
真
真

5、执行右边的程序框图，则输出的
是（ ）

A．
B．

C．
D．

6、在直角梯形
中，
，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

8、
展开式中的常数项为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、函数
的值域为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、
是双曲线

（
，
）的右焦点，过点
向
的一条渐近线引垂线，垂足为
，交另一条渐近线于点
．若
，则
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

11、直线
分别与曲线
，
交于
，
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、已知
，
，若
，则
．

14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为
．由以上信息，得到下表中
的值为 ．

天数
（天）

3

4

5

6

7



繁殖个数
（千个）



3

4



6



15、在半径为
的球面上有不同的四点
，
，
，
，若
，则平面
被球所截得图形的面积为 ．

16、已知
，
，满足
，则
的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，满足
，且
．

求
的通项公式；

若
，
，
成等差数列，求证：
，
，
成等差数列．

18、（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．

若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；

若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为
，求
的分布列和期望．

19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，侧面
与侧面
都是菱形，
，
．

求证：
；

若
，求二面角
．

20、（本小题满分12分）已知圆

，点
，以线段
为直径的圆内切于圆
，记点
的轨迹为
．

求曲线
的方程；

直线
交圆
于
，
两点，当
为
的中点时，求直线
的方程．

21、（本小题满分12分）已知函数
，
．

时，证明：
；

，若
，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆周角
的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
，
交
于点
．

求证：
；

若
，
，
，
四点共圆，且
，求
．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆

，直线

（
为参数）．

写出椭圆
的参数方程及直线
的普通方程；

设
，若椭圆
上的点
满足到点
的距离与其到直线
的距离相等，求点
的坐标．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

当
时，解不等式
；

若
的最小值为
，求
的值．

参考答案

一、选择题：

1、C 2、A 3、B 4、A 5、B 6、B 7、D 8、C 9、A 10、C 11、D 12、C

二、填空题：

13、 14、6 15、16π 16、[4，12]

三、解答题：

17、解：（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，a1＝1．

当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得an＝qan－1，

又q(q－1)≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，

故an＝qn－1． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，

化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．

故a2，a8，a5成等差数列． …12分

18、解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，P(A)＝C××＝． …4分

（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20．

P(X＝0)＝ ()2×＝， P(X＝5)＝C××()2＝，

P(X＝10)＝()2×＋()2×＝， P(X＝15)＝C×()2×＝，

P(X＝20)＝()3＝． …10分

X的分布列：

X

0

5

10

15

20



P













E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝． …12分

19、解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则

△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．

取CC1中点O，连OA，OB1，则

CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则

CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． …4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，

则C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)， …6分

设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为＝(，0，－)，＝(0，－1，－)，

所以取m＝(1，－，1)． …8分

设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为＝(，0，－)，＝ (0，2，0)，

所以取n＝(1，0，1)． …10分

则cos(m，n(＝＝＝，因为二面角C-AB1-A1为钝角，

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为－． …12分

20、解：（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A(，

连A(B，故|A(B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．

所以点B的轨迹是以A(，A为焦点，长轴长为4的椭圆．

其中，a＝2，c＝，b＝1，则曲线Γ的方程为＋y2＝1． …5分

（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，

则⊥．设B(x0，y0)，

则x0(x0－)＋y＝0． …7分

又＋y＝1 解得x0＝，y0＝±．

则kOB＝±，kAB＝
， …10分

则直线AB的方程为y＝±(x－)，

即x－y－＝0或x＋y－