金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三下联考

数学(文科) 试题

（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）

参考公式：棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(CUA)∩B=（ ）

A. {x|-1＜x≤3} B.
C. {x|x=3} D. {x|2≤x﹤3}

2. 复数
在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知数列
满足
，则
（ ）

A.53 B.54 C.55 D.109

4．已知一棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图都是

等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（ ）

A．8 B．16 C．32 D．48

5．对于函数
若
，则函数
在区间
内 （ ）

A．一定有零点 B．一定没有零点

C．可能有两个零点 D．至多有一个零点

6．曲线
在点
处的切线与坐标轴

所围三角形的面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

7. 下列程序框图(图2)的输出结果为 （ ）

A.
B.

C.
D.

8. 设
，则关于
的方程
的解的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

9. 点
到图形
上每一个点的距离的最小值称为点
到图形
的距离.已知点
,圆
:
,那么平面内到圆
的距离与到点
的距离之差为
的点的轨迹是（ ）

A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线

10．定义两种运算：

，
，则函数
为( )

A．奇函数 B．偶函数

C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11－13题）

11．（+）与垂直，且((=2((，则与的夹角为

12. 若等比数列{an}的前项n和为Sn，且 = 5，则 =

13．已知函数
．

①若
，使
成立，则实数
的取值范围为 ；

②若
，
使得
，则实数
的取值范围为 ．

（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点
引圆
的一条切线，则切线长为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，
是圆O的切线，切点为
，
交圆
于
两点，且
则
的长为 .

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

如图4,在直角坐标系
中,角
的顶点是原点,始边与
轴正半

轴重合,终边交单位圆于点
,且
.将角
的终边按

逆时针方向旋转
,交单位圆于点
.记
.

(Ⅰ)若
,求
;

(Ⅱ)分别过
作
轴的垂线,垂足依次为
.记△
的

面积为
,△
的面积为
.若
,求角
的值.

17.（本小题满分12分）

从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图5：

（1）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；

（2）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官

进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．

18．（本小题满分14分）

如图6，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且

∠ACB ＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝
，点P、

M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．

（1）求证：PN//平面ABC；

（2）求证：A1M⊥平面AB1C1；

（3）求点M到平面AA1B1的距离．

19（本题满分14分）已知数列
满足
且
。

（1）求
的值；

（2）是否存在一个实数
，使得
且
为等差数列？若存在，求出
的值；如不存在，请说明理由；

(3) 求数列
的前n项和
.

20．（本小题满分14分）如图7所示，O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a1＞0，b1＞0)和

椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．

(1) 求C1，C2的方程．

(2) 是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2

只有一个公共点，且|＋|＝|AB| ？证明你的结论.

21. (本小题满分14分)

己知函数

(1) 若
，求函数
的单调递减区间;

(2) 若关于x的不等式
恒成立，求整数 a的最小值:

(3 若
，正实数
满足
，证明:

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数学(文科) 参考答案及评分标准

一、选择题： D A C B C A C B D A

二、填空题： 11．120°， 12．17 ，13．①
； ②
． 14．
， 15.

16.解(Ⅰ)解:由三角函数定义,得
,
………………3分

因为
,
,

所以
…………………4分

所以
…………………7分

(Ⅱ)解:依题意得
,
.

所以
, …………………8分

……………9分

依题意得
,

整理得
……………10分

因为
, 所以
,

所以
, 即
…………12分

17．（1）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm~190cm的频率为：

 ……………3分

∴800名学生中身高在180cm以上的人数为：
人．6分

（2）样本中，身高介于185cm~190cm的学生人数为
人，身高介于190cm~195cm的学生人数为
人． ………………………8分

∴“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共10种，…………10分

其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有7种．

∴ 所求事件的概率P=0.7 ……………………………………12分

18. （1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P， ………………………………1分

∵N为AB1的中点，∴PN//AC, ---------------------------2分

∵
面
，
面
,

∴ PN//平面ABC. --------------------------------------4分

（2）证法一：连结AC1，在直角ΔABC中，

∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝
-----------------------------------5分

∵

=
，∴
------------------------------------------------7分

∴
，

∴AC1⊥A1M. -------------------------------------------------------------------8分

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1， -----------------------------------------------------------9分

∴B1C1⊥A1M，又
，故A1M⊥平面A B1C1，---------11分

【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴ AC＝A1C1＝
-------------------------------------------------------------5分

设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∵
, ----------------------------------7分

∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M. ----------------------------------------------------8分

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1， ---------------------------------------------------------9分

∴B1C1⊥A1M，又

故A1M⊥面A B1C1， ------------------------------------------------------------11分

（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，

由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1

∵

----------------------------------12分

∴

∴

.

即点M到平面AA1B1的距离为
． ----------------------------------------------14分

19.解析：(1)当n=2时，
，当n=3时，

，
. …………………… 2分

（2）当
时，

. ……………… 4分

要使
为等差数列，则必须使1+2t=0,
, ……………… 5分

即存在
，使
为等差数列. …………………… 6分

(3) 因为当t= -1/2时，
为等差数列，且
，

所以
…………………… 8分

所以
…………………… 9分

于是，

…………………… 10分

令
① …………………… 11分

　　　　② …………………… 12分

①—②得

化简得
…………………… 13分

∴
…………………… 14分

20．解： (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，

从而a1＝1，c2＝1. -----------2分

因为点P在双曲线x2－＝1上，所以－＝1，故b＝3.

由椭圆的定义知

2a2＝＋＝2.- --------4分

于是a2＝，b＝a－c＝2.故C1，C2的方程分别为x2－＝1，＋＝1. ----------6分

(2)不存在符合题设条件的直线．

(i)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－.

当x＝时，易知A(，)，B(，－)，所以

|＋|＝2，||＝2.

此时，|＋|≠||.

当 x＝－时，同理可知，|＋|≠||. ------------------8分

(ii)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m，

由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.- -------- ------------------9分

当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝，x1x2＝.

于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.- ------- ----------------10分

由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.

因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.

化简，得2k2＝m2－3.因此

·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0， ---- -----------------12分

于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，即|＋|2≠|－