广东省中山市2015届高三下学期第二次模拟考试

数学（文科）

参考公式：

棱锥的体积公式V=
sh，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高

独立性检测中，随机变量

分类变量X与Y有关系的可信度表：

 …

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



 k

 …

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 一、选择题

1．在复平面内，复数
（
是虚数单位）对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．函数
的定义域为（ ）

A．
B．（
） C．
D．（
）

3、已知向量
，
，若
与
垂直，则
等于

A . 1 B . 2 C . 4 D .

4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）

A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8,16,10,6

5、函数
是：（ ）

A . 周期为
的奇函数 B．周期为
的偶函数 []

C． 周期为
的奇函数 D．周期为
的偶函数

6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，

得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 (　　)

A．57.2, 3.6 B．57.2, 56.4 C．62.8, 63.6 D．62.8, 3.6

7．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是(　　)

A．①　　　　B．② ④ C．③ D．① ③

8．已知条件
，条件
，则
是
的：

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．下列函数
中，满足“对任意
，

，当


时，都有

”的函数是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、若两个分类变量x和y的列联表为：

y1

y2

合计



x1

10

45

55



x2

20

30

50



合计

30

75

105





则x与y之间有关系的可能性为(　　)

A．0.1% B．99.9% C．97.5% D．0.25%

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分。

（一）必做题（11～13题）

11．设函数
为奇函数，则
．

12．在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是

13．阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是___和________

（14题）

（13题）

（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分

14．（《几何证明选讲》选做题）如上图，点
是圆
上的点， 且
，则圆
的面积等于 ．[]

15. （《坐标系与参数方程》选做题）已知直线的极坐标方程为
，则它与曲线
（
为参数）的交点的直角坐标是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

16. （本小题满分12分）

设函数

的图象经过点
．

（Ⅰ）求
的解析式，并求函数的最小正周期和最值．

（Ⅱ）若
，其中
是面积为
的锐角
的内角，且
，求
和
的长．

17. （本小题满分12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元).

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

18．（本小题满分14分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的

成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．

（Ⅰ）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；

（Ⅱ）估计参赛学生成绩的中位数；

（Ⅲ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二

组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．

19．（本小题满分14分）如图，矩形
中，
平面ABE

为
上的点，且
平面
，

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；（3）求三棱锥
的体积.

20．（本小题满分14分）已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，

且a6为a1和a21的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公an及前n项和Sn；

(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求数列{}的前n项和Tn.

17. (1)如图，设矩形的另一边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.

由已知xa＝360，得a＝
，

所以y＝225x＋
－360(x＞0).

(2)∵x＞0，∴225x＋
≥2
＝10 800.

∴y＝225x＋
－360≥10 440.

当且仅当225x＝
时，等号成立. 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.

19． （1）证明：∵
平面
,
，∴
平面
,∴
. …2分

又 ∵
平面
, ∴
，

∵

,∴
…………………………4分

（2）证明：连结
，∵
平面
, ∴

∵
, ∴
为
的中点；∵ 矩形
中，
为
中点，

∴
. …… ………………………………………7分

∵
， ∴
平面
. ……8分

（3）解：取
中点
，连结
，∵
,∴

∵
平面
,∴
∴
……10分

∵
平面
,∴
,∴
…11分

∴
，故三棱锥
的体积为：

…13分

21．（Ⅰ）依题意，得

由
得

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

故

令
，则
或

①当
时，

当
变化时，
与
的变化情况如下表：











+

—

+





单调递增

单调递减

单调递增



由此得，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为

（Ⅲ）当
时，得

由
，得

由（Ⅱ）得
的单调增区间为
和
，单调减区间为

所以函数
在
处取得极值。

故

所以直线
的方程为

由
得

令

易得
，而
的图像在
内是一条连续不断的曲线，故
在
内存在零点
，这表明线段
与曲线
有异于
的公共点

另：也可由
解得

所以线段
与曲线
有异于
的公共点

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