四川省绵阳市西平中学2015届高三3月月考试题 数学理

一、选择题

1．直线
的斜率是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则
的值为（ ）

A．1 B．
C．
D．

3．函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
，
是数列
的前
项积，当
取到最大值时，
的值为（ ）

A．9 B．
C．8或9 D．9或10

5．在
中，
，若
成等比数列，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．在
这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其中各个数字之和为9的三位数共有（ ）个

A．21 B．19 C．18 D．16

7．设
，则
的最小值是（ ）

A．12 B．9 C．6 D．3

8．设
是函数
的两个极值点，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．函数
的定义域是
，对任意
都有
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题

11． 若
的展开式的常数项为
，则

12．在直角梯形
中，
，

是线段
上一动点，则
的取值范围是__________

13． 已知非零常数
满足
，则
________

14． 在
中，
是
的内心，若
，则
____

15．给出下列命题：①设
表示数列
的前
项和，若
，则
是等比数列的充分且必要条件是
；②函数
的值域为
；③已知
，则
的最小值为4；④若方程
在
上有解，则
的取值范围是
。其中正确命题的序号是_________

三、解答题：

16．已知数列
各项均为正数，
为其前
项和，且对任意的
，都有
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
对任意的
恒成立，求实数
的最大值。

17．已知
分别是
的三个内角
的对边，
。

（1）求角
的大小；

（2）求函数
的值域。

18．某品牌汽车
店对最近
位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表示所示：

付款方式

分1期

分2期

分3期

分4期

分5期



频数

40

20



10





已知分3期付款的频率为
，
店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为
万元；分4期或5期付款，其利润为
万元，用
表示经销一辆汽车的利润。

（1）求上表中
的值；

（2）若以频率作为概率，求事件
：“购买该品牌的3位顾客中，至多有一位采用分3期付款”的概率
；

（3）求
的分布列及数学期望
。

19．在多面体
中，四边形
为正方形，

，
平面
∥
。

（1）若
，求证：
∥平面
；

（2）求二面角
的大小。

20．已知椭圆
的两个焦点分别为
，且
，点
在椭圆上，且
的周长为6。

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
的坐标为
，不过原点
的直线
与椭圆
相交于
两点，设线段
的中点为
，点
到直线
的距离为
，且
三点共线。求
的最大值。

21．已知函数
，其中
且
。

（1）判断函数
的单调性；

（2）当
时，求函数
在区间
上的最值；

（3）设函数
，当
时，若对于任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，试求
的取值范围。

答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

C

B

B

A

D

D

A



二、填空题

11．4 12．
13．
14．
15．①④

三、解答题：

16．解：（1）
……………2分

当
时，

，又
各项均为正数

……………4分

数列
是等差数列，
……………6分

（2）
，若
对于任意的
恒成立，则

令
，当
时
……………9分

因
，所以

则实数
的最大值为
……………12分

17．解：（1）在
中，由正弦定理得
……………2分

即

故
……………4分

而在
中，
，则
……………6分

（2）由（1）知
则在
中，
，且
……………7分

…10分

又
，则
……………11分

所以函数的值域为
……………12分

18．解：（1）
……………1分

……………2分

（2）记分期付款的期数为
，则
的所有可能取值为

故所求概率
……………6分

（3）
的可能取值为
（万元），……………7分

则

……………10分

1

1.5

2





0.4

0.4

0.2




的分布列为：

……………11分

的数学期望
（万元）……………12分

19． 解：（1）证明：因为
，则点
为
的中点……………………1分

过点
作
于点
，连接
，

则
∥

又
∥

,
是平行四边形………………3分

∥
，又
平面
平面

∥平面
……………………5分

（2）由已知
两两互相垂直，分别以
所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
.

则

，设
是平面
的法向量，

则
，取
，则
……………………8分

因
，

则
，即
，又因

所以
是平面
的一个法向量……………………10分

所以

因二面角
的大小为锐角，所以二面角
的大小为
………………12分

20．解：（1）由已知得
，且
，解得
，又

所以椭圆
的方程为
……………………3分

（2）当直线
与
轴垂直时，由椭圆的对称性可知：

点
在
轴上，且原点
不重合，显然
三点不共线，不符合题设条件。

所以可设直线
的方程为
，

由
消去
并整理得：
……………①

则
，即
，设
，

且
，则点
，

因为
三点共线，则
，即
，而
，所以

此时方程①为
，且

所以

又

所以

故当
时，
的最大值为
……………………13分

21．解：（1）依题意，
……………1分

当
时，
，
或
……………2分

当
时，
，
或
……………3分

综上可知：当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减

当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增…4分

（2）当
时，
在
上单调递减……5分

由（1）知
在
上单调递减，

所以
在
上单调递减……………………6分

所以当
时
……………………7分

当
时
……………………8分

（3）当
时，

由（1）知
在
上单调递减

从而
，即
……………………9分

当
时，
在
上单调递增，

从而
，即
……………………11分

对于任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，

只需
，即
成立即可

记
，易知
在
上单调递增，且

所以
的取值范围为
……………………14分

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