3月考试题

数学文

一、选择题

1．直线
的斜率是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则
的值为（ ）

A．1 B．
C．
D．

3．函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
，
是数列
的前
项积，当
取到最大值时，
的值为（ ）

A．9 B．
C．8或9 D．9或10

5．在
中，
，若
成等比数列，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
为不同的二直线，
为不同的二平面，在下列四个命题中：

①若
，则
∥
； ②若
∥
∥
，则
∥
；

③若
，则
∥
； ④若
∥
∥
，则
∥
。

其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．设
，则
的最小值是（ ）

A．12 B．9 C．6 D．3

8．设
是函数
的两个极值点，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．函数
的定义域是
，对任意
都有
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题

11．圆
的半径
_____________

12．如图，在正三棱柱
中，侧棱长为
，底面三角形的边长为
，则
与侧面
所成的角的大小为_____________

13．在直角梯形
中，
，

是线段
上一动点，则
的取值范围是__________

14．已知非零常数
满足
，则
________

15．在
中，
是
的内心，若
，则
____

三、解答题：

16．已知数列
各项均为正数，
为其前
项和，且对任意的
，都有
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
对任意的
恒成立，求实数
的最大值。

17．已知
分别是
的三个内角
的对边，
。

（1）求角
的大小；

（2）求函数
的值域。

18．某市为缓解春运期间的交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员随机抽查了
人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：

年龄（岁）















频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

8

9

6

4

3



（1）完成被调查人员的频率分布直方图；

（2）若从年龄在
的被调查者中随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中恰好有1人赞成该路段“交通限行”的概率。

19．如图，在底面为平行四边形的四棱柱
中，

底面
。

（1）求证：平面
平面
；

（2）若
，求四棱锥
的体积。

20．已知椭圆
的两个焦点分别为
，且
，点
在椭圆上，且
的周长为6。

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
的坐标为
，不过原点
的直线
与椭圆
相交于
两点，设线段
的中点为
，点
到直线
的距离为
，且
三点共线。求
的最大值。

21．已知函数
，其中
且
。

（1）判断函数
的单调性；

（2）当
时，求函数
在区间
上的最值；

（3）设函数
，当
时，若对于任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，试求
的取值范围。

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

C

B

B

A

D

D

A



二、填空题

11．
12．
13．
14．
15．

三、解答题：

16．解：（1）
……………2分

当
时，

，又
各项均为正数

……………4分

数列
是等差数列，
……………6分

（2）
，若
对于任意的
恒成立，则

令
，当
时
……………9分

因
，所以

则实数
的最大值为
……………12分

17．解：（1）在
中，由正弦定理得
……………2分

即

故
……………4分

而在
中，
，则
……………6分

（2）由（1）知
则在
中，
，且
……………7分

…10分

又
，则
……………11分

所以函数的值域为
……………12分

18．解：（1）由题中表格可知，各组的频率分别为

所以被调查人员年龄的频率分布直方图为：

(2)年龄在
的5名被调查者中，有3人赞成该路段“交通限行”，分别记为
，其余2人分别记为
，从5名被调查者中任取2人，总的情形有：A1A2、A1A3、A2A3、A1B1、A1B2、A2B1、

A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10种，其中恰好有1人赞成该路段“交通限行”的情形有A1B1、A1B2、A2B1、

A2B2、A3B1、A3B2共6种，则选中的2人中恰有1人赞成该路段“交通限行”的概率

19．解：（1）在
中，
，由余弦定理得

所以
，即
……………………3分

又四边形
为平行四边形，所以
又
平面
底面

所以
，又

所以
平面
，又
平面

所以平面
平面
……………………6分

（2）连接

因
平面
，所以
……………………8分

所以四边形
的面积
……………9分

取
的中点
，连接
，则
，且

又平面
平面
，平面
平面

所以
平面
，

所以四棱锥
的体积
……………………12分

20．解：（1）由已知得
，且
，解得
，又

所以椭圆
的方程为
……………………3分

（2）当直线
与
轴垂直时，由椭圆的对称性可知：

点
在
轴上，且原点
不重合，显然
三点不共线，不符合题设条件。

所以可设直线
的方程为
，

由
消去
并整理得：
……………①

则
，即
，设
，

且
，则点
，

因为
三点共线，则
，即
，而
，所以

此时方程①为
，且

所以

又

所以

故当
时，
的最大值为
……………………13分

21．解：（1）依题意，
……………1分

当
时，
，
或
……………2分

当
时，
，
或
……………3分

综上可知：当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减

当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增…4分

（2）当
时，