内江市高中2015届第四次模拟考试试题

数学（理工类）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、设全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、复数
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、一几何体的三视图如
图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为
，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、如图
，某地一天中
时至
时的温度变化曲线近似满足函数
（其中
，
），则估计中午
时的温度近似为（ ）

A．
B．
C．
D．

5、执行如图
所示的程序框图，如果输出
，那么判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

6、若
，
，
，
，
，
为正实数，则
，
，
的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知
是抛物线
上的一个动点，则点
到直线

和

的距离之和的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知二面角
的平面角为
，
，
，
，
为垂足，且
，
，设
、
到二面角的棱
的距离分别为
、
，当
变化时，点
的轨迹是下列图形中的（ ）

A． B． C． D．

10、已知定义在
上的函数
满足：①
；②对所有
，
，且
，有
．若对所有
，
，
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11、已知
展开式中所有项的二项式系数和为
，则其展开式中的常数项为 ．

12、直角坐标系
中，
，
分别是与
，
轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
中，若
，
，且
，则
的值是 ．

13、若
，则
．

14、已知
，则函数
的零点的个数为 ．

15、下图展示了一个由区间
到实数集
的映射过程：区间
中的实数
对应数轴上的点
，如图
；将线段
围成一个圆，使两端点
、
恰好重合，如图
；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在
轴上，点
的坐标为
，如图
．图
中直线
与
轴交于点
，则
的象就是
，记作
．

方程
的解是 ；

下列说法中正确命题的序号是 ．（填出所有正确命题的序号）

①
；②
是奇函数；③
在定义域上单调递增；④
的图象关于点
对称；⑤
的解集是
．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分12分）已知向量
，
．

当
时，求
的值；

设函数
，已知在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、
．若
，
，
，求
（
）的取值范围．

17、（本小题满分12分）某品牌汽车的
店对最近100位采用分期付款的购车者人数进行统计，统计结果如下表所示：

已知分3期付款的频率为
，并且
店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为
万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，以频率作为概率．

求事件
“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；

用
表示销售一辆该品牌汽车的利润，求
的分布列及数学期望
．

18、（本小题满分12分）在三棱柱
中，已知
，
，
在底面
的射影是线段
的中点
．

证明：在侧棱
上存在一点
，使得
平面
，并求出
的长；

求二面角
的余弦值．

19、（本小题满分12分）已知数列
为等比数列，其前
项和为
，已知
，且对于任意的
有
，
，
成等差数列．

求数列
的通项公式；

已知
（
），记
，若
对于
恒成立，求实数
的范围．

20、（本小题满分13分）在平面直角坐标系
中，已知椭圆

（
）的离心率
，直线

（
）过椭圆
的右焦点
，且交椭圆
于
，
两点．

求椭圆
的标准方程；

已知点
，连结
，过点
作垂直于
轴的直线
，设直线
与直线
交于点
，试探索当
变化时，是否存在一条定直线
，使得点
恒在直线
上？若存在，请求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

21、（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数
，
，其导函数记为
，且满足
，
，
，
为常数，
．

试求
的值；

记函数
，
，若
的最小值为
，求实数
的值；

对于
中的
，设函数
，
，
（
）是函数
图象上两点，若
，试判断
，
，
的大小，并加以证明．

内江市高中2015届第四次模拟考试试题

数学（理工类）参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1、D 2、C 3、B 4、B 5、B 6、A 7、C 8、C 9、D 10、B

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