2015届高三年级上海市八校联合调研考试

（理科）数学试卷 2015.3

考生注意：

1、每位考生应同时收到试卷与答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3、本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1、函数
的最小正周期是 ；

2、已知线性方程组的增广矩阵为
，若此方程组无实数解，则实数
的值为 ；

3、若直线
的方向向量是直线
的法向量，则实数
的值等于 ；

4、若函数
的定义域与值域都是
，那么实数
的值为 ；

5、已知点
在焦点为
的椭圆
上，若
，则
的值等于 ；

6、某县共有
个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有
个。为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本。现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为 ；

7、已知点
，
是抛物线
的焦点，若点
在抛物线上运动，当
取最小值时，点
的坐标为 ；

8、
；

9、某企业最近四年的年利润呈上升趋势，通过统计，前三年的年利润增长数相同，后两年的年利润增长率相同，已知第一年的年利润为
千万元，第四年的年利润为
千万元，则该企业这四年的平均年利润为 千万元。

10、已知直线
的斜率为
，经过点
，
与
的距离为
，若数列
是无穷等差数列，则
的取值范围是 ；

11、从
名运动员中选出
名运动员组成接力队，参加
米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为 （结果用最简分数作答）；

12、如图：边长为
的正方形
的中心为
，以
为圆心，
为半径作圆。点
是圆
上任意一点，点
是边
上的任意一点（包括端点），则
的取值范围为 ；

13、一质点从正四面体
的顶点
出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动。第1次运动经过棱
由
到
，第2次运动经过棱
由
到
，第3次运动经过棱
由
到
，第4次经过棱
由
到
。对于
，第
次运动回到点
，第
次运动经过的棱与
次运动经过的棱异面，第
次运动经过的棱与第
次运动经过的棱异面。按此运动规律，质点经过
次运动到达的点为 ；

14、对于函数
定义域
内的值
，若对于任意的
，恒有
（或
）成立，则称
是函数
的极值点。若函数
在区间
内恰有一个极值点，则
的取值范围为 。

二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、“
且
”是“
”的 （ ）

A、充分非必要条件； B、必要非充分条件；

C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件。

16、已知底面边长为
，高为
的正六棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A、
； B、
； C、
； D、
。

17、已知
是虚数单位），
的展开式中系数为实数的项有（ ）

A、671项； B、672项； C、673项； D、674项。

18、定义在
上的函数
满足
，且当
时，
。则
（ ）

A、
； B、
； C、
； D、
。

三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。

19、（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）

如图：将圆柱的侧面沿母线
展开，得到一个长为
，宽
为
的矩形。

（1）求此圆柱的体积；

（2）由点
拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达
，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）。

20、（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）

已知
是虚数单位）。

（1）当
且
时，求
的值；

（2）设
，求
的最大值与最小值及相应的
值。

21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

在数列
中，
。

（1）若数列
满足
，求证：数列
是等比数列；

（2）设
，记
，求使
的最小正整数
的值。

22、（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）

已知射线
，直线
过点
交
于点
，交
于点
。

（1）当
时，求
中点
的轨迹
的方程；

（2）当
且

是坐标原点）面积最小时，求直线
的方程；

（3）设
的最小值为
，求
的值域。

23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）

设函数
。

（1）当
时，对于一切
，函数
在区间
内总存在唯一零点，求
的取值范围；

（2）若
在区间
上是单调函数，求
的取值范围；

（3）当
时，函数
在区间
内的零点为
，判断数列
的增减性，并说明理由。

数学(理科)参考答案与评分建议

一、填空题：

1、
； 2、
； 3、
； 4、
； 5、
； 6、
； 7、
；

8、
； 9、
； 10、
； 11、
； 12、
；

13、
； 14、
。

二、选择题：

15、
； 16、
； 17、
； 18、
。

三、解答题：

19、（1）设圆柱的底面半径为
，高为
，则
，即
---------2分

--------5分

（2）设
中点为
，侧面展开图矩形为
，
中点为
。则绳长的最小值即为侧面展开图中的
。 -------7分

。 -------10分

所以绳长的最小值为
。 -------12分

20、（1）由
，得
-------2分

即
-------3分

因为
，则
，所以
-------4分

得：
或
。 --------5分

（2）

--------7分

--------9分

-------10分

当
，即
时，
-------11分

当
，即
时，
。 --------12分

21、（1）因为
，所以
，代入
得

------2分

化简得：
------4分

又
------5分

所以
是以
为首项，
为公比的等比数列。 -------6分

（2）由（1）得
，所以
------8分

由
，得
-------9分

------10分

所以

。 -------12分

若
，则
，即
，得

所以满足条件的最小正整数
等于
。 -------14分

22、解法一：

（1）当
时，
，设
，
，因为
是
中点，所以
------2分

因为
三点共线，所以
，由
，则有
，即
------4分

代入得
点轨迹方程为
。 ------6分

（2）当
时，
，
，
，
-------8分

由
共线得
------9分

，当
时等号成立， ------10分

此时
，直线
方程为
。 ------12分

（3）由
三点共线得：
，

即
----14分

---16分

因为
，且
，所以上式

所以
，
，所以
值域为
。 ---18分

解法二：

（1）由题知直线
的斜率
存在，且
。当
时，设直线

由
，同理得
------3分

设
，则

消去
得
轨迹方程为
。 ------6分

（2）当
时，设直线

由
，同理得
------8分

----9分

设
，则
，所以
，当
，即
时，
最小值为
，此时
，所以直线
。 ------12分

（3）设

由
，则理得

-----14分

设
，因为
，所以
，

------16分

所以
，
，所以
值域为
。 -----18分

23、（1）当
时，
在区间
内有唯一零点，

因为函数
在区间
上是增函数，所以
且
---2分

即
且
，由
对于
恒成立，得

所以
的取值范围为
。 ----4分

（2）
在区间
上是单调函数，设
，

-----7分

由题知
或
对于
恒成立 ----9分

因为
，所以
或
。 ---12分

（3）
时，
，
，
在区间
上的零点是
，所以
----14分

由
知，
，所以
，

设
在区间
上的零点为
，所以
，即

-----16分

又函数
在区间
上是增函数，所以

即数列
是递增数列。 -----18分

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org