福建省龙岩市2015届高三教学质量检查

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．

2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．
=

A．
B．
C．
D．

2．命题“对任意实数
，关于
的不等式
恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是

A．
B．
C．
D．

3．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为

A．
B．

C．
D．

4．已知复数
（
为虚数单位）为实数，

则
的值为

A．
B．

C．
D．

5．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，[来源:学优高考网gkstk]

则这个几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

6．如图，
分别是射线
上的两点，给出下列向量：①
；

②
；③
；④
；⑤

若这些向量均以
为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有

A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤

7．已知过抛物线
焦点的一条直线与抛物线相交于
，
两点，若
，则线段
的中点到
轴的距离等于

A．
B．
C．
D．

8． 若函数

在区间
上有两个零点

，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
是
上的减函数，且函数
的图象关于点

对称．设动点

，若实数
满足不等式
恒成立，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和． 如：
，
，
，……

依此类推可得：
，[来源:学优高考网]

其中
，
．设
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.

11．如右图所示的程序执行后输出的结果
为 ．

12．二项式
展开式中的常数项为 （用数字作答）.

13．已知点
在渐近线方程为
的双曲线

上，其中
，
分别为其左、右焦点．若
的面积为16且

，则
的值为 ．

14．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有 个（用数字作答）．

15．已知动点
在函数
的图像上，定点
，则线段
长度的最小值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分13分）

已知在
中，角
所对的边分别为
，
，且
为钝角．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围．

17.（本小题满分13分）

某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为
的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过
，且他直到第二次测试才合格的概率为
．

（Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；

（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

18.（本小题满分13分）

如图，已知
是圆
的两条互相垂直的直径，直角梯形
所在平面与圆
所在平面互相垂直，其中
，
，
，
，点
为线段
中点．

（Ⅰ）求证：直线
平面
；

（Ⅱ）若点
在线段
上，且点
在平面
上的射影为线段
的中点，请求出线段
的长．

19.（本小题满分13分）

如图，已知椭圆
的离心率为
，其左、右顶点分别为
．一条不经过原点的直线
与该椭圆相交于
、
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若
，直线
与
的斜率分别为
．试问：是否存在实数
，使得
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分14分）

已知函数
（
为自然对数的底数），曲线
在
处的切线与直线
互相垂直.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）设
，

．问：是否存在正常数
，对任意给定的正整数
，都有
成立？若存在，求
的最小值；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分14分）

本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知二阶矩阵

，若矩阵
属于特征值
的一个特征向量
，属于特征值3的一个特征向量
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若向量
，计算
的值．

（2）在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），若以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆
的极坐标方程为
，设
是圆
上任一点，连结
并延长到
，使
．

（Ⅰ）求点
轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与点
轨迹相交于
两点，点
的直角坐标为
，求
的值．



说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．

1-5 ACCAD 6-10 BDBCC

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．

11．15 12．10 13．7 14．288 15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由

得
，得

于是

又
，∴
……………………………………………6分

（Ⅱ）∵
为钝角

于是
，又
，∴

由正弦定理可知，

所以

又
，
[来源:学优高考网]

∴


…………………………………………13分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为
，

则

即
，
，

解得
或
（舍去）

所以小刘第一次参加测试就合格的概率为
. …………………………6分

（Ⅱ）
的可能取值为1，2，3，

，

，

，

所以
的分布列为


[来源:gkstk.Com]


















………………………………13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题设
且平面
平面
，可知
平面

又
是圆的直径，

因此，以点
为原点可建立空间直角坐标系如图

由于
是圆
的两条互相垂直的直径，且

所以四边形
是边长为4的正方形

则
，，
，
，
，
，

，
，

是平面
的法向量

，

所以直线
平面
………………………………………7分

（Ⅱ）点
在线段
上，可设

的中点为
，
，

由题设有
平面

，
，

解得

，

线段
的长为
………………………………13分

19.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题设可知

因为
即
，所以
．又因为

所以椭圆
的方程为：
………………………………………4分

（Ⅱ）解法一：

由
知:
， …………………………………………………5分

设直线
的方程为
，直线
的方程为
．

联立方程组
，消去
得:

解得点
的坐标为