天水一中2015届第一次模拟考试数学试题（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）

1．集合
，
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设
是虚数单位，复数
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知
,则
( )

A．

B．
C．
D．

4.函数
的图像关于原点对称，
是偶函数，则

A.1 B.
C.
D.

5.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程
中的
，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为

A．51个 B．50个 C．49个 D．48个

6.下列说法正确的是

A．命题“

，
”的否定是“

，
”

B．命题 “已知

，若
，则
或
”是真命题

C．“
在
上恒成立”
“
在
上恒成立”

D．命题“若
，则函数
只有一个零点”的逆命题为真命题

7.已知函数
，且
，则当
时，
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．设函数
，记
则 （ ）

A.
B.

C.
D.

9. 在
中，
，
，
是边
上的高，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．9

10．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为
，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为
,则
（ ）

A．
B．

C．
D．

11.若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

12.已知
为R上的可导函数，当
时，
，则函数
的零点个数为 （ ）

A.1 B.2 C.0 D.0或2

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为____．

14.
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．

15.设
满足约束条件
，则
所在平面区域的面积为___________.

16、在平面直角坐标系
中，点
，直线
，设圆
的半径为1，圆心在
上，若圆
上存在点M，使
，则圆心
的横坐标
的取值范围为

三、解答题（共70分）

17.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手
三人进行上网投票，结果如下

观众年龄

支持

支持

支持



20岁以下

200

400

800



20岁以上（含20岁）

100

100

400





（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取
人，其中有6人支持
，求
的值.

（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量
表示抽取出3人中支持
的人数，写出
的分布列并计算
.

18.（本题满分12分）设数列
是等差数列，数列
的前
项和
满足
且

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式：

（Ⅱ）设
，设
为
的前n项和，求
.

19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为菱形，

∠BCD= 120°,AB= PC =2,AP= BP=

（I）求证：AB⊥PC：

（Ⅱ）求二面角B一PC—D的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知圆
点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．

（I）求动点P的轨迹C1的方程；

（Ⅱ）设
，N为抛物线
上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．

21.（本小题满分12分）.已知函数
，
（a为实数）．

(Ⅰ) 当a=5时，求函数
在
处的切线方程；

(Ⅱ) 求
在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；

(Ⅲ) 若存在两不等实根
，使方程
成立，求实数a的取值范围．

22.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．

（1）证明：∠D=∠E；

（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

23.在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数方程为:
（
为参数），M是C1上的动点，P点满足
,P点的轨迹为曲线C2.

(1)求C2的方程;

(2)在以O为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
.

24.已知函数
,

（1）当
时，求不等式
的解集;

（2）若
的解集包含
，求
的取值范围.

天水一中2015届第一次模拟考试

数学答案（理科）

1.【答案解析】A 解析：由
，得
=2，所以
,
.即
，
，因此

2.【答案】【解析】A 解析：复数

．

3.【答案解析】C ∵cos（x-
）=-
，∴cosx+cos（x-
）=cosx+cosxcos
+sinxsin

=
cosx+
sinx=
（
cosx+
sinx）=
cos（x-
）=
×（-
）=-1故选C．

4.【答案】【解析】D 解析：∵
关于原点对称，∴函数
是奇函数，

∴
∵
是偶函数，∴
对任意的
都成立，∴
，∴
，

∴
对一切
恒成立，∴
，∴
，故选：D

5.【答案】【解析】C 解析：由题意知
，代入回归直线方程得


，故选

6.【答案解析】A、“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x0∈R，ex≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”?“（
）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x-1有一个零点时，a=-1”，∵f（x）有一个零点时，a=-1或a=0；∴命题错误．故选：B．

【思路点拨】B. A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（
）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．

7.

.设
，由
得
.结合图形可知，
即
.选A.

8.【解析】

试题分析：已知
，得
，

当x>0时，
，

所以
在（0，+
）上单调递减，

，即
，故选B.

9.【答案】C 解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系；

根据已知条件可求以下几点坐标：A
，D
，C
；

∴
，
；∴
．故选C．

【思路点拨】根据已知条件可以分别以BC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，而根据已知的边长及角的值可求出向量
，
的坐标，根据数量积的坐标运算即可求出
．

10.【答案】【解析】D 解析：三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是
，该几何体的外接球的体积V1=
，V2=
，∴V1：V2=
，故选D

．.

【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果．

11.【答案解析】B ①x2-y2=1?是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=
，

在?x=
和?x=-
?处的切线都是y=-
，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=
，sinφ=
，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=
，即?x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．

【思路点拨】①x2-y2=1?是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在?x=
?和?x=-
处的切线都是y=-
，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．

12.【答案】C

【解析】

13.

14【答案】40

解析：令
则有
，得
，所以二项式为
所以其常数项为
所以答案为40.

15【答案】

【解析】

试题分析：画出
对应的平面区域，如图所示.

所在平面区域的面积为
.

16【答案】

解析：解：设点M（x，y），由MA=2MO，知，
化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，

故答案为：
．

17.【答案解析】（1）40（2）

（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴
=
，解得n=40，（2）X=0，1，2

X

0

1

2



P

2



7





4



7





1



7







∴E（X）=1×
+2×
=
，D（X）=
×(0-
)2+
×(1-
)2+
×(2-
)2=
．

【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．（2）X=0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列并计算E（X），D（X）．

18.【答案解析】(1)
,
. （2）

（1）∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=
（bn-1），∴b1=S1=
(b1-1)，解得b1=3．当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=
(bn-1)-
(bn-1-1)，化为bn=3bn-1．∴数列{bn}为等比数列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．

设等差数列{an}的公差为d．∴
，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．综上可得：an=2n-1，bn=3n．（2）cn=an?bn=（2n-1）?3n．∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）?3n-1+（2n-1）?3n，

3Tn=32+3×33+…+（2n-3）?3n+（2n-1）?3n+1．∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）?3n+1=
-（2n-1）?3n+1-3

=（2-2n）?3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．

【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可