2015年湖北省八市高三年级三月联考

数 学（理工类）

本试卷共4页，共22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2. 选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知
，
是方程
的两相异根，当
时，则
为

A．
B．
C．
D．

2．在
的展开式中，
项的系数为

A．45 B．36 C．60 D．120

3．有下列关于三角函数的命题

，若
，则
；
与函数
的图象相同；
；

的最小正周期为
．其中的真命题是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

4．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系
、
、

三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为

A．94 B．32 C．64 D．16

5．某单位为了了解某办公楼用电量y(度)与气温x(oC)之间

的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：

气温(oC)

18

13

10

－1



用电量(度)

24

34

38

64



 由表中数据得到线性回归方程
，当气温为－4 oC时，预测用电量约为

A．68度 B． 52度 C．12度 D．28度

6．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式
给定，若
为D上任一点，

点A的坐标为
，则
的最大值为

A．3 B．4 C．
D．

7．从半径为R的球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，且
，则函数
的一个零点是

A．
B．
C．
D．

9．点
为双曲线
的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆
相切于点Q，且
，则双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．2

10．设函数
，
，若
的解集为M，
的解集为N，当
时，则函数
的最大值是

A．0 B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）

11. 已知向量
，
，向量
，用
，
表示向量
，则
= ▲ ．

12．设
为等比数列，其中
，
，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出结果为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线
相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则该点落在圆C内的概率为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系中，二元方程
的曲线为C．若存在一个定点A和一个定角
，使得曲线C上的任意一点以A为中心顺时针（或逆时针）旋转角
，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线C为旋转对称曲线．给出以下方程及其对应的曲线，其中是旋转对称曲线的是 ▲ （填上你认为正确的曲线）．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15．如图，圆O的圆心在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与

直角边AB相切，与斜边AC交于点D、E，AD=DE=EC，

AB=
，则直角边BC的长为 ▲ ．

16．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半

轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为
，
，

则C的参数方程为 ▲ ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．（本题满分12分）已知函数
在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图

象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．

（Ⅰ）求
与
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求
的值．

18．（本题满分12分）已知数列
满足
，且

（Ⅰ）用数学归纳法证明：

（Ⅱ）设
，求数列
的通项公式.

19．（本题满分12分）如图1在
中，
，D、E分别为线段AB 、AC的中点，
．以
为折痕，将
折起到图2的位置，使平面
平面
，连接
，设F是线段
上的动点，满足
．

（Ⅰ）证明：平面
；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
，求
的值．

20．（本题满分12分）某物流公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处．若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵

车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示（例

如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概

率为
，路段CD发生堵车事件的概率为
）．

（Ⅰ）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发

生堵车事件的概率最小；

（Ⅱ）若记路线A→C→F→B中遇到堵车的次数为随机变量
，求
的数学期望
．

21．（本题满分13分）椭圆
的上顶点为
是
上的一点，以

为直径的圆经过椭圆
的右焦点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）动直线
与椭圆
有且只有一个公共点，问：在
轴上是否存在两个定点，它们到直线
的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．

22．（本题满分14分）已知函数
和直线
．

（Ⅰ）当曲线
在点
处的切线与直线
垂直时，求原点
到直线
的距离；

（Ⅱ）若对于任意的
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）求证：
．

2015年湖北省八市高三年级三月联考

数学（理工类）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B 8．A 9．C 10．D

二、填空题：本大题 共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。

11．
12．4 13．
14．

15．7 16．

三、解答题。本大题共6小题，共75分。

17．（Ⅰ）解：由已知可得
………………3分

BC=
=4，
……………………………………4分

由图象可知，正三角形
ABC的高即为函数
的最大值
，

得
………………………………………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

即
∵
，

∴
∴
…………………8分

∴

……………………………12分

18．（Ⅰ）证明：①当
时，
，

② 假设当
时，结论成立，即
，

则当
时，

又

综上①②可知
………………………………………………6分

（Ⅱ）由
可得：

即
……………………8分

令
，则
又

∴
是以1为首项，以2为公比的等比数列，
，

即
………………………………………………………12分

19．（Ⅰ）
平面
平面
,

∴
平面
∴

∴
……………………………………2分

在直角三角形
中，

∴
得

∴
，又

∴
……………………………………………………6分

（Ⅱ）作

设BE交DC于O点，连OF，

由（Ⅰ）知，
为二面角F－BE－C的平面角………………………7分

由
∴

，∴

在
………………10分

得，
………………………………………………………………12分

方法2：
，设BE交DC于O点，连OF，

则
为二面角F－BE－C的平面角…………………………………7分

又
∴

由
得
……………………………………………8分

在直角三角形
中
，
∴

由
得
从而得，
…………12分

方法3：（向量法酌情给分）

以D为坐标原点DB，DE，D
分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），
（0，0，2），B（2，0，0），

C（2，
，0），E（0，
，0）.

（Ⅰ）

∵
∴

∵
∴

又
，∴
平面

又
平面

所以平面

平面
…………………………………………6分

（Ⅱ）设

设平面BEF的法向量为

，

取
……………………………………………………8分

又
平面BEC的法向量为

∴
得

解得
，又∵

∴
……………………………………………………………12分

20．（Ⅰ）路线A→E→F→B途中堵车概率为
；

路线A→C→D→B途中堵车概率为
；

路线A→C→F→B途中堵车概率为
．

所以选择路线路线A→E→F→B的途中发生堵车的概率最小……………6分

（Ⅱ）解法一：由题意，
可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

………………12分

解法二：设
表示路线AC中遇到的堵车次数；
表示路线CF中遇到的堵车次数；

表示路线FB中遇到的堵车次数； 则
，

∵
，
，
，

∴
………………………………12分

21．（Ⅰ）
，由题设可知
，得

①……………………1分

又点P在椭圆C上，
②

③……………………3分

①③联立解得，
………5分

故所求椭圆的方程为
……………………………………………………6分

（Ⅱ）方法1：设动直线
的方程为
，代入椭圆方程，消去y，整理，

得
（﹡）

方程（﹡）有且只有一个实根，又
，

所以
得
…………………………………………………………8分

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立.所以，
解得，

所以，存在两个定点
，它们恰好是椭圆的两个焦点.……13分

方法2：根据题设可知动直线
为椭圆的切线，其方程为

，且

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立，所以，

解得，

所以，存在两个定点
，它们恰好是椭圆的两个焦点.……13分

22．（Ⅰ）
………………………………………………………………2分

∴
，于是
， 直线l的方程为
……3分

原点O到直线l的距离为
…………………………………………………4分

（Ⅱ）
，

设
，即

…………………………………………6分

①若
，存在
使
，
，这与题设
矛盾…7分

②若
，方程
的判别式
，

当
，即
时，
，

∴
在
上单调递减，

∴
，即不等式成立…………………………………………………8分

当
时，方程
，设两根为
，

当
单调递增，
与题设矛盾，

综上所述，
………………………………………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
时，
成立．

不妨令
，

所以
，

……………………………………11分

…………………………………………12分

累加可得

．

………………………………………………14分

命题人：天门市教科院 刘兵华

仙桃市教科院 曹时武

随州市曾都一中 刘德金

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