浙江省六校2015届高三年级联考

数学（理）试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟．

参考公式：

柱体的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式V＝
Sh． 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式V＝
h
其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式S＝４
R２ 其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式
其中R表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题

1．若全集U=R，集合
，则集合

A．
B．
C．
　D．

2． 已知直线l：y=kx 与圆O：x２+y２=１相交于A，B两点，则“k=１”是“△OAB的面积为
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

3．△ＡＢＣ的内角Ａ、B、C的对边分别是a、b、c, 若B=2A, a=1, b=
, 则c=

A．2
B．2 C．
D．1

4．设
是三个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，下列判断正确的是

A．若
⊥
，则
⊥
，则
∥
B．若
⊥
，
∥
，则
⊥

C．若则m⊥
, n⊥
, m∥n D．若m∥
，n∥
,则m∥n

5． 已知函数f (x)=Asin
在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是，则A等于

A．1 B．2 C．4 D． 8

6． 已知向量是单位向量
，若
·
=0，且
，则
的取值范围是

A．[1,3] B．[
] C．[
,
] D．[
,3]

7．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1, F2, P为双曲线上任一点，且
·
最小值的取值范围是
，则该双曲线的离心率的取值范围为

A．
B．
C．
D．

8．已知
，令
，则方程
解的个数为

A．2014 B． 2015 C． 2016 D．2017

非选择题部分（共110分）

二、填空题

9． 函数
的单调增区间为 ，已知
，且
，则
．

10．设公差不为零的等差数列{an}满足： a1=3, a4+5是a2+5和a8+5的等比中项，则an= , {an}的前n项和Sn =_________．

11．某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是 cm3, 表面积是 ____ cm2．

12．已知变量x，y满足
，点（x，y）对应的区域的面积__________，
的取值范围为__________．

13．已知F为抛物线C: y2=2px(p
0)的焦点，过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设
，则
= .

14．若实数a和b满足2×4a－2a·3b+2×9b=2a+3b+1，则2a+3b的取值范围为__________________．

15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为
，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题15分）如图，在△ABC中，已知
，AC=
, D为BC边上一点．

（I）若AD=2，S△DAC=
，求DC的长；

（II）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．

17．（本题15分）如图，在三棱锥A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD,∠CBD=60°,BC=2．

（I）求证：平面ABC⊥平面ACD；

（II）若E是BD的中点,F为线段AC上的动点，EF与平面ABC所成的角记为
，当tan
的最大值为
，求二面角A-CD-B的余弦值．

18． （本题15分）已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为
，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为
．

（I）求椭圆的方程；

（II）是否存在过F2的直线l交椭圆于A、B两点，且满足△AOB的面积为
，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

19．（本题15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn
．

（I）求证{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（II）证明：

20．（本题14分）已知函数 f（x）=x2+4|x－a|（x
R）．

（I）存在实数x1、x2
[－1,1]，使得f（x1）=f（x2）成立，求实数a的取值范围；

（II）对任意的x1、x2
[－1,1]，都有|f（x1）－f（x2）|
成立，求实数k的最小值．

参考答案

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