邢台市捷径高考2015届高三第二次模拟考试

数学（理科）试题

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
的共轭复数为（　　）

　 A．﹣3﹣i B． ﹣1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣2+2i

2．要得到函数y=2sin（2x﹣
）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象（　　）

　 A．向左平移
个单位 B． 向右平移
个单位

　 C．向左平移
个单位 D． 向右平移
个单位

3．（已知集合A={x||x+1|＜1}，B{x|y=
}，则A∩B=（　　）

　 A．（﹣2，﹣1） B． （﹣2，﹣1] C． （﹣1，0） D． [﹣1，0）

4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）

　 A． 60种 B． 63种 C． 65种 D． 66种

5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（　　）

　 A．
B．
C． 8﹣2π D．

6．若函数f（x）=
x3﹣
x2+
x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，则
的值是（　　）

　 A．
B．
C． ﹣
D．

7．双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（　　）

　 A． 2 B．
C． 4 D．

8．已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣
的零点依次为a，b，c，则（　　）

　 A． c＜b＜a B． a＜b＜c C． c＜a＜b D． b＜a＜c

9．已知实数x，y满足约束条件
，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是（　　）

　 A． [﹣
，0] B． [0，
]

C．（﹣∞，0]∪[
，+∞） D．（﹣∞，﹣
]∪[0，+∞）

10．（若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2
，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（　　）

　 A． 64π B． 16π C． 12π D． 4π

11．如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则
的最小值为（　　）

　 A．
B． 9 C．
D． ﹣9

12．执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）

　 A．（0，1] B． [1，
] C． [1，2] D． [
，2]

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）命题“?x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是　_________　．

14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2
，C=45°，1+
=
，则边c的值为　_________　．

15．（5分）已知P是抛物线y2=4x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为M、N是圆（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是　_________　．

16．（5分）已知x∈R，y∈[0，5]，我们把满足方程x2+8xsin（
x+y）π+16=0的解（x，y）组成的集合记为M，则集合M中的元素个数是　_________　．

三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（12分）已知{an}的各项均为正数的数列，其前n项和为Sn，若2Sn=an2+an（n≥1），且a1、a3、a7成等比数列．

（1）求{an}的通项公式；

（2）令bn=2
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn+4=2b．

18．（12分）现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P处，期间所花费的时间记为X．

（1）求X≤30分钟的概率；

（2）求X的分布列及EX的值．

19．（12分）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=
．

（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；

（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．

20．（12分）如图，A，B是双曲线
﹣y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．

（1）求点E的轨迹W的方程；

（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k＞0）与W的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值．

21．（12分）（2014?洛阳三模）已知函数
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）设g（x）=2ln（x+1）﹣mf（x），若当x∈[0，+∞）时，恒有g（x）≤0，求m的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】

22．（10分）（2014?洛阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，AM⊥CP，垂足为M，CD⊥AB，垂足为D．

（1）求证：AD=AM；

（2）若⊙O的直径为2，∠PCB=30°，求PC的长．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．（2014?洛阳三模）已知直线l的参数方程为
，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣
）．

（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．

【选修4-5：不等式选项】

24．（2014?洛阳三模）已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|

（1）求不等式f（x）≥5的解集；

（2）当x∈[﹣2，2]时，关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，求实数t的取值范围．



三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17、解：（Ⅰ）∵2Sn=an2+an（n≥1），

∴n≥2时，2Sn﹣1=an﹣12+an﹣1，

两式相减，得2an=
﹣
+an﹣an﹣1，

整理，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

∵an+an﹣1≠0，

∴）an﹣an﹣1=1，

又4s1=
+a1，

即
﹣a1=0，解得：a1=1，

∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．

又a1、a3、a7成等比数列．

∴
=a1a7，即
=a1（a1+6），解得a1=2，

∴an=2+（n﹣1）?1=n+1．

（2）证明：由（1）得bn=
=2n+1，

∴Tn=22+23+…+2n+1=
=2n+2﹣4，

∴Tn+4=2n+2=2bn．

18． 解：（1）X≤30分钟的概率：

P（X≤30）=P（B）+P（AB）=
=
．

（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，

P（X=20）=P（B）=
，

P（X=30）=P（AB）=
=
，

P（X=50）=P（CB）=
=
，

P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=
，

∴X的分布列为：

X 20 30 50 60

P

∴EX=20×
+30×
+50×
+60×
=40（分）．

19． （1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，

∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=
，

∵AC=
，∴AE2+CE2=AC2，

∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，

又∵AE?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；

（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，

则D（0，1，0），C（
，0，0），F（0，
，
）G（﹣
，1，
），

平面CDG的一个法向量
=（0，0，1），

设平面FDG的法向量
=（x，y，z），
=（0，﹣
，
），
=（﹣
，1，
）

∴
，即
，令z=1，得x=3，y=
，

故平面FDG的一个法向量
=（3，
，1），

∴cos
=
=
，

∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣
．

20． 解：（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），

设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则
，①

由两点式分别得直线AC，BD的方程为：

直线AC：
，直线BD：
，

两式相乘，得
，②

由①，得﹣
=
，代入②，得：

，

整理，得﹣4y2=x2﹣4，

∴点E的轨迹W的方程
．

（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），

联立
，得（4k2+1）x2=4，

∴P（
），Q（﹣
），

四边形MPNQ的面积S=S△QOM+S△DMP+S△NOP+S△NOQ

=2（S△QMP+S△QNP），

∴S=
=2yP+xP

=
=2

=2

=

=2
，

∵k＞0，∴4k+
≥4，

故当且仅当
，即k=
时，四边形MPNQ的面积取最大值为2
．

21． 解：（Ⅰ）求导函数，可得
．

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0．

∴
，∴
，∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，∴
，则
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

令h（x）=﹣mx2+（2﹣2m）x+2﹣2m，

当m=0时，h（x）=2x+2，在x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．

当m＜0时，∵
且h（0）=2﹣2m＞0

∴x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

当0＜m＜1时，则△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）＞0，

由h（x）=0得
；

则x∈[0，x2）时，h（x）＞0，g′（x）＞0即g（x）在[0，x2）上是增函数，则g（x2）≥g（0）=0，不满足题设．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

当m≥1时，△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）≤0，h（x）≤0，g′（x）≤0，即g（x）在[0，+∞）上是减函数，则g（x）≤g（0）=0，满足题设．

综上所述，m∈[1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】

22． （1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ABC+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠ABC，

∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P，

∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，

∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC，

∴△AMC≌△ADC，

∴AD=AM；

（2）解：∵∠PCB=30°，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，

∴∠PAC=∠PCB=30°，

在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，

∴BC=1，∠ABC=60°，

∴∠BPC=30°，

∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，

由切割线定理得PC2=PB?PA=PB（PB+BA）=3，

∴PC=
．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23． 解：（1）由
（t为参数）得直线l的普通方程为

又∵
，

∴
，

∴
，即
；

（2）由
得圆心C（1，
），半径r=2．

∴圆心C到直线l的距离d=
．

直线l与圆C相离．

∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是
．

【选修4-5：不等式选项】

24、解：（1）f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|=
，由式f（x）≥5，可得
①，或
②，或
．

解①求得x≥3，解②求得 2≤x＜3，解③求得 x≤﹣10．

故不等式的解集为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣10]．

（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣4，5]，∵关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，

∴5﹣|2t﹣3|≥0，即﹣5≤2t﹣3≤5，求得﹣1≤t≤4，

故t的范围为[﹣1，4]．

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