江西省重点中学盟校2015届高三第一次联考

高三数学（文）试卷

主命题：赣州三中 赖祝华 辅命题：新余四中 刘金华 白鹭洲中学 门晓艳

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、要从已编号（
）的
枚最新研制的某型导弹中随机抽取
枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（　　）

A．
B．

C．
D．

2、已知R是实数集，M＝{x| <1}，N＝{y|y＝}，则
= (　　)

A．(1,2)　　 B．[1,2] C．[1,2) D．[0,2]

3、已知等比数列
中，
，且
，则
＝(　　)

A． B．1 C．2 D．

4、如下图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为
.则阴影区域的面积为 (　　)

A． B． C． D．无法计算

5、已知向量
、
的夹角为120°，且|
|＝1，|2
+
|＝
，则|
|＝(　　)

A．3 B．2
C．4 D．2

6、复数
与复数
在复平面上的对应点分别是
、
，则
等于(　　)

A．
B．
C．
D．

7、双曲线
的左焦点在抛物线
的准线上，则该双曲线的离心率为(　　)

A．
B．
C．
D．

8、已知函数
是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数
，

设
＝
，
，
，则
、
、
的大小关系为(　　)

A．
<
<
B．
<
<

C．
<
<
D．
<
<

9、已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，其

中主视图是以2为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的外接

球的表面积为(　　)

A．
B．
C．
D．

10、若函数
在其定义域上只有一个零

点，则实数
的取值范围是(　　)

A．
>16 B．
≥16 C．
<16 D．
≤16

11、下列命题中, 其中是假命题的为(　　)

①
若
是异面直线，且
，则
与
不会平行；

②函数
的最小正周期是
；

③命题“?
∈R，函数f(x)＝(x－1)
＋1恒过定点(1,1)”为真；

④“命题
为真”是“命题
为真”的必要不充分条件；

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

12、坐标平面上的点集S满足S=
，

将点集S中的所有点向
轴作投影，所得投影图形的长度为（ ）

A．1 B．
C．
D．2

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13、在等差数列
中，已知
，则该数列前11项和S11= ．

14、设不等式组
所表示的平面区域为D.若圆C落在区域D中，则圆C的半径r的最大值为______．

15、已知
、b、c为集合A＝{1,2,3,4,5}中三个不同的数，

通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数
，

则输出的数
＝5的概率是________．

16、若f (n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和，如：142+1=197，

1+9+7=17，则f (14)=17;记f1(n)= f (n)，f2(n)= f (f1(n))
，

f3(n)= f (f2(n))，……fk+1(n)= f (fk(n))，k∈N*，

则f 2015 (9)= ____．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）设函数f(x)＝＋2cos2x.

（1）求f(x)的对称轴方程；

（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，b＋c＝2，求a的最小值．

18、（本小题满分12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000

名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150

分)，将统计结果按如下方式分成八组：第
一组[60,70)，第二

组[70,80)，……，第八组：[130,140]，如图是按上述分组方

法得到的频率分布直方图的一部分．

（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

（2）估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用

中值代替各组数据平均值)；

（3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随
机

抽取2名，求他们的分差小于10分的概率．

19、（本小题满分12分）如图，在梯形
中，
，
，
，

四边形
是矩形，且平面
平面
，点M在线段
上.

（1）求证：
平面
；

（2）当
为何值时，AM//平面BDF？证明你的结论。

20、（本小题满分12分）已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)

为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦

点垂直于长轴的弦长为3。

（1）求椭圆E的方程；

（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．

21、（本小题满分12分
）已知函数f(x)＝lnx＋
x2＋bx(其中
、b为常数且
≠0)在x＝1处取得极值．

（1）当
＝1时，求f(x)的极大值点和极小值点；

（2）若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求
的值．

请考生从第22、23、24、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.

（1）证明：OM·OP＝OA2；

（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于

B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.

23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为(，)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝a，．

（1）若点A在直线l上，求直线l的直角坐标方程；

（2）圆C的参数方程为
(
为参数)，若直线
与圆C相交的弦长为
，求
的值。

24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－
|(
>0)．

（1）当
＝4时，已知f(x)＝7，求x的取值范围；

（2）若f(x)≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}，求
的值．

江西省重点中学盟校2015届高三第一次联考数学（文科）试题

参考答案解析

1、[答案]　B [解析]：
，间隔应为
。考查系统抽样概念，容易题。

2、[答案]　D 考查集合前面的元素代表的含义、交并补的运算及分式不等式的运算。

[解析]：　M＝{x|<1}＝{x|<0}＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2或x<0}，N＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，∴
＝{x|0≤x≤2}，∴
＝{x|0≤x≤2}，故选D。

3、[答案]　C 考查等比数列的基本性质。

[解析]：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件可得a＝4·a·q4，∴q4＝，q2＝.∴a3＝a1q2＝4×＝2. 故选C。

4、[答案] B 考查几何概型。

[解析]：设阴影区域的
面积为S，＝，所以S＝.

5、[答案]　C 考查向量夹角及求模的基本问题。

[解析];由
解得|
|=4。

5、[答案]　D 考查逻辑和命题、幂函数过定点问题。

[解析]：①错，应有4个子集；②错，
为0时不对；③正
确；④错，应是
。故D项正确．

6、[答案] B 考查复数的代数表示法及其几何意义。

[解析]：因为点A、B对应的复数分别是
与
=
，所以A（2，1），B（3，-1），法一利用向量求解
，所以
。

法二可利用正切两角和公式求解

，则
。

7、[答案]　C考查双曲线与抛物线的标准方程和几何性质，依据条件求离心率。

[解析];依题意得
解得
，所以离心率
。

8、[答案]　A 考查函数的奇偶性、对称性及单调性，根
据图象比较大小。

[解析]：∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(3)＝f(－1)，∵x∈(1，＋∞)时，
,所以f(x)单调递减，

∴x∈(－∞，1)时，f(x)单调递增，∴f(－1)

9、[答案] B 考查三视图与球有关的表面积问题。

[解析]：由三视图还原的直观图可以放在长方体中，外接球的球心即为长方体的体对角线的中点，体对角线长为
=3=
，解得
，所以外接球的表面积为
。

10、[答案]　A 考查函数（分段函数）零点、求参数取值范围问题，体现数形结合和方程的思想。

[解析]：　当x≤0时，函数y＝－x与函数y＝3x的图象有一个交点，所以函数y＝f(x)有一个零点；而函数f(x)在其定义域上只有一个零点，所以当x>0时，f(x)没有零点．当x>0时，f ′(x)＝x2－4，令f ′(x)＝0得x＝2，所以f(x)在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，因此f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝
－>0，解得
>16，故选A。

11、[答案]　B 综合考查命题、立体几何的概念、幂函数、三角函数基本概念性质。

[解析]： 若
与
平行，则
，与
是异面直线相茅盾，所以①对；通过图象可知②对；③错，
为0时不对；④正确，故选B。

12、[答案]　D

[解析]：右式等于
=
，由
的范围得

得

，投影长度为2。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、[答案] 88 考查等差数列的基本性质、求和公式。

[解析]：因为
，由等差数列的性质可得
，所以
。

14、[答案] 1 考查线性规划和圆的知识，渗透数形结合的思想。

[解析]：画出平面区域D，可得到一个直角三角形，要使圆C的半径r最大，只要圆C和直角三角形相内切，由平面几何知识可求得r的最大值为1。

15、[答案]
考查算法和古典概型，此题的关健是读懂算法。

[解析]：由算法可知输出的
是
中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A＝{
1,2,3,4,5}中选三个不同的数共有10种取法：123、124、125、134、135、145、234、235、245、345，满足条件的6种，所以概率为
。

16、[答案] 11 考查阅读和推理能力 。

[解析]：∵92+1=82, ∴f1 (9)= f (9)=10； ∵102+1=101,∴f2 (9)= f (f1(9))=f (10)=2；

∵22+1=5, ∴f3 (9)= f (f2(9))=f (
2)=5； ∵52+1=26,∴f4 (9)= f (f3(9))=f (5)=8；

∵82+1=65,∴f5 (9)= f (f4(9))=f (8)=11；∵112+1=122,

∴f6 (9)= f (f5(9))=f (11)=5.∴数列{ fn (9)}从第3项开始是以3为周期的循环数列

∵ 2015=2+671×3 ∴f 2015 (9)= f 5 (9)=11

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分） 考查三角函数图像及解三角形。

[解析]：(1)∵f(x)＝cos＋2cos2x＝cos＋1， ------------- 2分

由
得
的对称轴方程为
------------- 4分

(2)由f(
)＝
＝
，

可得cos
＝-，由A∈(0，π)，可得A＝. ------------------ 7分

在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc，

由b＋c＝2知bc≤2＝1，当b＝c＝1时bc取最大值，

此时a取最小值1. ------------------ 12分

18、（本小题满分12分） 考查频率分布直方图和概率。

[解析]：(1)由频率分布直方图知第七组的频率

f7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.直方图如图． ----- 3分

(2)
估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：

65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97(分)． ---------- 7分

(3)第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第一组有学生2人，分别记作B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件