江西省红色六校2015届高三第二次联考

文科数学试题

（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学）

命题、审题：分宜中学 刘日辉 遂川中学 郭爱平

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.复数
(
是虚数单位)的共轭复数为( )

A .
B.
C.
D.

2.设集合
，则
等于( )

A.　
　B.　
　　　　 C.
　　　D.

则
＝( )

A.
B.
C.
D.

4.若幂函数
的图象经过点
，

则它在点A处的切线方程是( )

A.
B.

C.
D.

5.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( )

A.
B.

C.
D.

6.阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，

则判断框中应填入的条件为( )

A.i≤4　　 B. i≤5`　　　

C. i≤6 D. i≤7

7.已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴正半轴重合，终边在 直线
上，则
的值为( )

A.
B.
C.
D.

8.设变量x，y满足
的最大值为(　　)

A.3 B.8 C.
D.

9. 在
中，
是边
上的一点，且
则
的值为( )

A.0 B.4 C.8 D.-4

10.已知函数
若数列
满足
，且
是递增数列，则实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

11.在x轴、y轴上截距相等且与圆
相切的直线L共有( )条

A.2 B.3 C.4 D.6

12. 已知
有两个不同的零点,则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题(每小题5分，共20分)

13.设
的内角
的对边分别为
,且
，则

14.在
内随机取两个数
，则使函数
有零点的概率为
.

15.用两个平行平面同截一个直径为20cm的球面，所得截面圆的面积分别是
，则这两个平面间的距离是___________cm.

16.点A是抛物线
与双曲线
的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A到抛物线
的准线的距离为
，则双曲线
的离心率等于____________

三、简答题(每小题12分，共60分)

17.为了更好的了解某校高三学生期中考试的数学成绩情况，从所有高三学生中抽取40名学生，将他们的数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：
后得到如图所示的频率分布直方图。

(1)若该校高三年级有1800人，试估计这次考试的数学成绩不低于60分的人数及60分以上的学生的平均分；

(2)若从
这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率。

18. 已知
是正数组成的数列，
，且点(
)(n
N*)在函数
的图象上.数列
满足
,
。

(1)求数列
，
的通项公式；

(2)若数列
满足
，求
的前n项和

19.(12分)

如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点.

(1)求证：平面EFG⊥平面PAD；

(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积.

20.已知函数
.

(1)求函数
的单调区间；

(2)若对任意的
,都有
成立，求
的取值范围.

21.已知点
是抛物线
的焦点，其中
是正常数，
都是抛物线经过点
的弦，且
，
的斜率为
，且
，
两点在
轴上方.

(1) 求
；

(2)①当
时，求
；

②设△AFC与△BFD的面积之和为
，求当
变化时
的最小值.

四、选做题(从下面三题中选做一题，共10分)

22.如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，

∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.

(1)证明：B、D、H、E四点共圆；

(2)证明：CE平分∠DEF.

23.已知圆的极坐标方程为：
,

(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.

24.已知函数
.

(1)当
时，求不等式
的解集；

(2)若
的解集包含
，求a的取值范围。

2015届红色六校联考文科数学试题参考答案

一选择题

B D A C , C A D B , B C B C

二填空题

13,
14,
15，2或14 16，

17.（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，

所以

． …………………………1分

解得
． ………………………………………………………………………2分

根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为

．……3分

由于高三年级共有学生1800人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为
人． …………………………………..4分

可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为:

65×
+75×
+85×
+95×
=66.25 ………………………………….6分

（2）解：成绩在
分数段内的人数为
人， ……………… 7分成绩在
分数段内的人数为
人， …………………………………8分

若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有
种 ……………… 9分

如果两名学生的数学成绩都在
分数段内或都在
分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在
分数段内，另一个成绩在
分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．…… 10分

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种 ………………11分

所以所求概率为
． ……………………………………………………12分

18. （Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,

所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

故an=1+(a-1)×1=n …………………………………………………………………………3分

从而bn+1-bn=2n.

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1

=2n-1+2n-2+···+2+1

＝
=2n-1 ............................................................6分

（Ⅱ）Cn = n2n –n

令
，由错位相减法可得
...10分

从而
..........................................12分

19.解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD
平面ABCD，CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD…………………….（3分）

又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，

∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD

∵EF
平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；……………….（6分）

（2）∵EF∥CD，EF
平面EFG，CD
平面EFG，

∴CD∥平面EFG，

因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，

∴VM﹣EFG=VD﹣EFG， （8分）

取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，

∵EF⊥平面PAD，EH
平面PAD，∴EF⊥EH

于是S△EFH=
EF×EH=2=S△EFG，

∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形

∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为
， （10分）

因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG=VD﹣EFG=
×S△EFG×
=
． （12分）

21、（1）设

由
得

………………(2分)

由抛物线定义得

同理用

…………………(5分)

（2）①

…………………(7分)

当
时
，

又
，解得
……………(8分)

②由①同理知
,

由变形得
…………………(10分)

又

…………………(11分)

即当
时
有最小值
…………………(12分)

22.证明　(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，

所以∠BAC＋∠BCA＝120°.

因为AD，CE是角平分线，

所以∠HAC＋∠HCA＝60°，

故∠AHC＝120°.

于是∠EHD＝∠AHC＝120°.

因为∠EBD＋∠EHD＝180°，

所以B、D、H、E四点共圆．…………5分

(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，

得∠HBD＝30°.

由(1)知B、D、H、E四点共圆．

所以∠CED＝∠HBD＝30°.

又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，

由已知可得EF⊥AD，

可得∠CEF＝30°，

所以CE平分∠DEF ……………………10分

23. (1) p2 - 4√2pcos(θ-π/4) + 6 = 0 p2 - 4√2p [cosθcos(π/4) + sinθsin(π/4)] + 6 = 0

即p2 - 4√2p [cosθ (1/√2) + sinθ (1/√2)] + 6 = 0

即p2 - 4pcosθ - 4psinθ + 6 = 0

即 x2 + y2 - 4x - 4y + 6 = 0

所以圆的方程为 (x - 2)2 + (y - 2)2 = 2 …………5分

(2) 设圆的参数方程为 x = 2 + √2cosα, y = 2 + √2sinα

则 x + y = 2+ √2cosα + 2 + √2sinα = 4 + √2(cosα + sinα) = 4 + √2 * √2 [cosα (1/√2) + sinα (1/√2)] = 4 + 2 [cosα sin(π/4) + sinα cos(π/4)] = 4 + 2sin(α + π/4)

当sin(α + π/4) = 1时, x + y 有最大值为6 ………8分

当sin(α + π/4) = -1时, x + y 有最小值为2………10分

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