江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试

数学试题

一、填空题 （70分）

1、集合A＝{－1,0，2}，B＝{x｜｜x｜＜1}，则A
B＝＿＿＿＿＿＿

2、已知i是虚数单位，则
的实部为＿＿＿＿＿

3、命题P：“
”，命题P的否定：＿＿＿＿＿

4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿

5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿

6、已知样本6，7，8，9，m的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿

7、实数x，y满足
，则
的最小值为＿＿＿

8、已知
，则
＝＿＿＿＿

9、已知双曲线C：
的一条渐近线与直线l：
＝0垂直，且C的一个焦点到l的距离为2，则C的标准方程为＿＿＿＿

10、设函数
，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是＿＿＿＿

11、已知A（
）是单位圆（圆心为坐标极点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转
到OB交单位圆于点B（
），已知m＞0，若
的最大值为3，则m＝＿＿＿＿

12、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是＿＿＿＿

13、设数列{
}的前n项和为Sn，且
，若对任意
，都有
，则实数p的取值范围是＿＿＿＿＿

14、已知A（0,1），曲线C：y＝logax恒过点B，若P是曲线C上的动点，且
的最小值为2，则a＝＿＿＿＿＿

二、解答题（90分）

15、（14分）已知函数
部分图象如图所示。

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）当
时，求函数
的值域。

16、（14分）在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点。

（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：

（2）若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC。

17、（15分）如图，A，B，C是椭圆M：
上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC。

（1）求椭圆的离心率；

（2）若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程。

18、（15分）如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30o方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东
角（
），且与商业中心O的距离为
公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处。

（1）当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；

（2）若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置。

19、（16分）已知数列{
}中，
，且
对任意正整数都成立，数列{
}的前n项和为Sn。

（1）若
，且
，求a；

（2）是否存在实数k，使数列{
}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项
按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k值，若不存在，请说明理由；

（3）若
。

20、（16分）已知函数
。

（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。

（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；

（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x
时，

恒有f（x）＞g（x）成立。

数 学 试 题(附加题)

(考试时间：30分钟 总分：40分)

21.A．（本小题满分10分，矩阵与变换）在平面直角坐标系xoy中，设曲线C1在矩阵A＝
对应的变换作用下得到曲线C2：
，求曲线C1的方程。

B．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

　　已知曲线C1的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为
，求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标。

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（(本小题满分10分)射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为
，命中一次得3分；命中乙靶的概率为
，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量
表示该射手一次测试累计得分，如果
的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得部分
的分布列和数学期望E
；

（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。

23.（(本小题满分10分)

对于给定的大于1的正整数n，设
，其中

{
}，
，且
，记满足条件的所有x的和为
。

（1）求A2

（2）设

；，求f（n）

扬州市2014—2015学年度第一学期期末调研测试试题

高 三 数 学 参 考 答 案

第一部分

1.
2．
3.
,
4.
5. 15

6.
7. -2 8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.

14.解：点
，
，设
，则
．

依题

在
上有最小值2且
，故
是
的极值点，即最小值点．

，若
，
，
单调增，在
无最小值；故
，

设
，则
，当
时，
，当
时，
，

从而当且仅当
时，
取最小值，所以
，
．

15⑴由图，
，得
，
，则
， ……3分

由
，得
，所以
，

又
，得
，所以
； ……7分

⑵
， ……10分

因为
，故
，则
，即
，

所以函数
的值域为
． ……14分

16⑴解：
为
中点．理由如下：

平面
交
于
，即平面
平面
，

而
平面
，
平面
，所以
， ……4分

在
中，因为
为
的中点，所以
为
中点； ……7分

⑵证：因为
，
为
的中点，所以
，

因为平面
平面
，平面
平面
，

在锐角
所在平面内作
于
，则
平面
，…10分

因为
平面
，所以

又
，
平面
，则
平面
，

又
平面
，所以
． ……14分

17.

解⑴因为
过椭圆
的中心，所以
，

又
，所以
是以角
为直角的等腰直角三角形， ……3分

则
，所以
，则
，

所以
； ……7分

⑵
的外接圆圆心为
中点
，半径为
，

则
的外接圆为：
……10分

令
，
或
，所以
，得
，

（也可以由垂径定理得
得
）

所以所求的椭圆方程为
． ……15分

18⑴以O为原点，OA所在直线为
轴建立坐标系．设
，

∵
，
∴
，
，

则
，
， ……4分

依题意，AB⊥OA，则OA=
，OB=2OA=9，商业中心到A、B两处的距离和为13.5km．

⑵

方法1：当AB与
轴不垂直时，设AB：
，①

令
，得
；由题意，直线OB的方程为
，②

解①②联立的方程组，得
，∴
，

∴
，由
，
，得
，或
． ……11分

，令
，得
，

当
时，
，
是减函数；当
时，
，
是增函数，

∴当
时，
有极小值为9km；当
时，
，
是减函数，结合⑴知
km．

综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km，

方法2：如图，过P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，设∠BAO=
，

△OPN中
，得PN=1，ON=4=PM，

△PNA中∠NPA=120°-
∴
得

同理在△PMB中，
，得
，

， ……13分

当且仅当
即
即
时取等号．

方法3：若设点
，则AB：
，得
，

∴
， ……13分

当且仅当
即
时取等号．

方法4：设
，AB：
，得
，

， ……13分

当且仅当
即
时取等号．

答：A选地址离商业中心6km，B离商业中心3km为最佳位置． ……15分

19⑴
时，
，
，所以数列
是等差数列， ……1分

此时首项
，公差
，数列
的前
项和是
， ……3分

故
，即
，得