高三自主练习

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．参考公式：圆柱表面积
；球的表面积
.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数
（
为虚数单位）在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列命题的否定为假命题的是

A．
B．任意一个四边形的四个顶点共圆

C．所有能被
整除的整数都是奇数 D．

4．已知
表示两条不同直线，
表示平面，下列说法正确的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

5．已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

6．执行右面的程序框图，若输出结果为
，则可输入的实数
值

的个数为

A．
B．
C．
D．

7．将函数
的图象向左平移
个单位后，所得

到的图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为

A．
　B．
C．
D．

8．已知向量
满足
，则向量
与
夹角的余弦值为

A．
B．
C．
D．

9．将
四个数字随机填入右边
的方格中﹐每个方格中恰

填一个数字﹐且数字可重复使用. 则事件“
方格的数字大于
方格

的数字，且
方格的数字大于
方格的数字”的概率为

A．
B．
C．
D．

10．对于函数
和
，设
，
，若存在
，使得
，则称
与
互为“零点相邻函数”．若函数
与
互为“零点相邻函数”，则实数
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．在样本频率分布直方图中，样本容量为
，共有
个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他
个小长方形面积和的
，则中间一组的频数为 .

12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的表面积之比是 .

13．如图：在
中，
，
，
，
，

则
的长为 .

14．如图：正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点，其余四个顶点都在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 .

15．若直线
始终平分圆
的周长，则
的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若函数
的图象关于直线
对称，求
的最小值；

（Ⅱ）若函数
在
上有零点，求实数
的取值范围.

17．（本小题满分12分）

某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为
元，此鱼的市场价格和鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

鱼池产量







概　率







鱼的市场价格(元/







概　率









(Ⅰ）设
表示在这个鱼池养殖
季这种鱼的利润，求
的分布列和期望；

（Ⅱ）若在这个鱼池中连续
季养殖这种鱼，求这
季中至少有
季的利润不少于
元的概率．

18．（本小题满分12分）

如图，在多面体
中，底面
是边长为
的的菱形，

，四边形
是矩形，平面
平面
，

，
和
分别是
和
的中点.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小.

19．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，
，
，
．

(Ⅰ) 求证:数列
是等比数列；

(Ⅱ) 设数列
的前
项和为
，
，点
在直线
上，若不等式
对于
恒成立，求实数
的最大值．

20．（本小题满分13分）

设函数
，
，函数
的图象与
轴的交点在函数
的图象上，且在此点处两曲线有相同的切线.

(Ⅰ) 求
、
的值；

(Ⅱ) 设定义在
上的函数
的最大值为
，最小值为
，且
，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知椭圆

的左、右焦点分别为
、
，离心率为
，且经过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）动直线
与椭圆
相切，点
是直线
上的两点，且
．

求四边形
面积；

（Ⅲ）过椭圆
内一点
作两条直线分别交椭圆
于点
和
，设直线
与
的斜率分别为
、
，若
，试问
是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．

高三自主练习

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

C A D B B C A B C D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13.
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

……………………………………………… 3分

由
，可得
, 又

所以
的最小值为
. ………………………………………6分

（Ⅱ）因为
， 所以

所以
即
，

所以
………………………………9分

又
在
上有零点，即
在
有解

故
， 所以

故实数
的取值范围为
. ………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为利润＝产量×市场价格－成本，所以
所有可能的取值为

……………………2分

，

……………………4分

所以
的分布列为



















则
……………………6分

（Ⅱ）设
表示事件“第
季利润不少于
元”(
)，

由题意知
相互独立，由（Ⅰ）知，

…………………8分

季的利润均不少于
元的概率为

季中有
季利润不少于
元的概率为

所以
季中至少有
季的利润不少于
元的概率为
………12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：在
中，因为
分别是
的中点，

所以
， 又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………… 2分

设
，连接
，

因为
为菱形，所以
为
中点

在
中，因为
，
，

所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………… 4分

又因为
，
平面
，

所以平面
平面
. ………………5分

（Ⅱ）解：取
的中点
，连接
，

因为四边形
是矩形，
分别为