山东烟台2015高考诊断性测试数学理

一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

1. 若集合
，集合
，则集合
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 复数
的共轭复数
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. “
，
”是“函数
的图象过原点”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 甲乙两名同学参加某项技能比赛，
名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（ ）

A. 甲成绩稳定且平均成绩较高

B. 乙成绩稳定且平均成绩较高

C. 甲成绩稳定，乙平均成绩较高

D. 乙成绩稳定，甲平均成绩较高

5. 某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 已知
，
，且
，
，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 设点
是区域
内的随机点，函数
在区间
上是增函数的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 若双曲线
（
，
）的左. 右焦点分别为
.
，线段
被抛物线
的焦点分成
两段，则此双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知
是
内一点，且
，
，若
.
.
的面积分别为
.
.
，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知函数
（
），定义函数
，给出下列命题：①
；②函数
是偶函数；③当
时，若
，则有
成立；④当
时，函数
有
个零点. 其中正确命题的个数为（ ）

A.
B.
C.
D.

二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）

11. 若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 .

12. 现有
枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把
枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 种（用数字作答）.

13. 若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 .

14. 已知
，
，
，
，
，
，经计算：
，
，
，
，照此规律则
.

15. 已知圆

和两点
，
（
），若圆
上至少存在一点
，使得
，则
的取值范围是 .

三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）

16. （本小题满分12分）在
中，角
.
.
所对的边分别为
.
.
，已知
.

求角
的大小；

若
，
，求
值.

17. （本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科. 文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示. 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取
名同学进行测试.

求从理科组抽取的同学中至少有
名女同学的概率；

记
为抽取的
名同学中男同学的人数，求随机变量
的分布列和数学期望.

18. （本小题满分12分）已知等差数列
中，
，前
项和为
且满足条件：
（
）.

求数列
的通项公式；

若数列
的前
项和为
，且有
（
），
，证明：数列
是等比数列；又
，求数列
的前
项和
.

19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，平面
平面
.

求证：平面
平面
；

若直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求二面角
的余弦值.

20. （本小题满分13分）已知椭圆

（
）的右焦点
，过点
且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于
，
两点，当直线
经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为
.

求椭圆
的方程；

设
为坐标原点，线段
上是否存在点
，使得
？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分14分）已知函数
（
）.

当
时，求函数
图象在点
处的切线方程；

求函数
的单调区间；

若
，
，且对任意的
，
，
恒成立，求实数
的取值范围.

参考答案

一. 选择题

1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. C 10. D

二. 填空题

11.
12. 5 13. 10 14.
15.

三. 解答题

16. 解：（1）由正弦定理可得
，

由余弦定理：
，…………………2分

因为
，所以
.

（2）由（1）可知，
，…………………4分

因为
，B为三角形的内角，所以
，…………………6分

故

…………………9分

由正弦定理
，

得
. …………………12分

17. 解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，

文科组抽取1人，…………………2分

从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，

所以所求的概率为：
. …………………4分

（2）由题意可知
的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分

相应的概率分别是

,
，

,
,………………9分

所以
的分布列为：

0

1

2

3



P












.

18. 解：

………………2分

∴

所以
………………4分

（2）由

所以
，
，
………………4分

所以
是等比数列且
，
………………6分

∴

∴
………………8分

∴
………………9分

∴

利用错位相减法，可以求得
. ………………12分

19. 解：（1）∵平面
平面
，

平面
平面
，
，

∴
平面
,………………2分

又∵
，故可建立空间直角坐标系
如图所示，

不妨设

,

则有
，

∴
，

∴
，………………4分

∴
，

∴
平面
.

又
平面

∴平面
平面
………………6分

（2）由（1），平面
的一个法向量是
，
,

设直线
与平面
所成的角为
，

，解得
，

∵

∴
，即
………………8分

设平面
的一个法向量为
，
，

由
,

∴
，不妨令
，则
………………10分

∴
,

显然二面角
的平面角是锐角，

∴二面角
的余弦值为
. ……………