高三数学（理工农医类） 2015.03

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2. 设复数
，
在复平面内对应的点关于虚轴对称，若
，则
的虚部为

A．
B．
C．
D．

3. 如果双曲线
的一条渐近线与直线
平行，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．2 D．3

4. 已知函数
的定义域为
，且
，且满足
，当
时，
，则函数
的大致图像为

5.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：

偏爱蔬菜

偏爱肉类

合计



50岁以下

4

8

12



50岁以上

16

2

18



合计

20

10

30



则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为

A．90% B．95% C．99% D．99.9%

附：参考公式和临界值表

P(
≥
）

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828



 由
，

6. 下列结论中正确的是：

①命题：
的否定是
；

②若直线
上有无数个点不在平面
内，则
；

③若随机变量
服从正态分布
，且
，则
；

④等差数列{
}的前
项和为
，若
，则
。

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

7. 如图在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC=
，BD=5，
∠ABC=
，则CD的长为

A．
B．4 C．
D．5

8.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆， 则该几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

9. 已知抛物线方程为
，直线
的方程为
，在抛物线上有一动点P到
轴的距离为
，P到
的距离为
，则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

10. 对于实数
定义运算“
”：
，

设
，且关于
的方程
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
的解集是 ；

12. 运行右面的程序框图，若输入的
的值在区间
内，那么则输出的
的取值范围是 ；

13. 若
变量
、
满足约束条件
，且
的最小值为4，则
__________．

14. 在对于实数
，
表示不超过的最大整数，观察下列等式：

……

按照此规律第
个等式的等号右边的结果为 ；

如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点。若
(
），则以下说法正确的是： .（请将所有正确命题的序号填上）

①若点E和A重合，点P和B重合，则
；

②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧
的中点；

③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧上的三等分点，则
；

④若点E和B重合，点P为
上任一点，则动点（
）的轨迹为双曲线的一部分．

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知函数
，其图像与
轴相邻两个交点的距离为
．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）若将
的图像向左平移
个长度单位得到函数
的图像恰好经过点（
），求当
取得最小值时，
在
上的单调递增区间．

17．（本小题满分12分）

如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=
AF，BC=
AB，∠CBA=
，P为DF的中点。

（Ⅰ）求证：PE∥平面ABCD；

（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值

18．（本小题满分12分）

某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
，
，
，
．

（Ⅰ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的概率：①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在
内至多1名学生；

（Ⅱ）在成绩是
内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在
内人数为随机变量
，求
的分布列及数学期望
.

19．（本小题满分12分）

已知各项为正数的等比数列数列
的前
项和为
，数列{
}的通项公式
，若
，
是
和
的等比中项．

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{
}的前
项和为
.

20．（本小题满分13分）

已知点
是圆心为
的圆
上的动点，点
，若线段
的中垂线交
于点
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线
是圆
的切线且
与
点轨迹交于不同的两点
、
，
为坐标原点，若
,且
，求△
面积的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
无极值点，求
的取值范围；

（Ⅱ）设
，当
取（Ⅰ）中的最大值时，求
的最小值；

（Ⅲ）证明不等式：
．

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