绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合
，集合
，

则A∩(C
B)=

A．[1,2] B．[1,2) C．(1,2] D．(1,2)

2．已知直线m、n和平面
，则m∥n的必要非充分条件是

A．m、n与
成等角 B. m⊥
且n⊥

C. m∥
且n
D．m∥
且n∥

3．若等比数列
的前n项和
，则

A．4 B．12 C．24 D．36

4．已知复数

，函数
图象的一个对称中心是

A. （
） B. （
） C.（
） D.（
）

5．如图给出的是计算
的值的程序框图，则图中

判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是

A. i＞100,n=n+1 B. i＞100,n=n+2

C. i＞50,n=n+2 D. i≤50,n=n+2

6．设
，则二项式

展开式中的
项的系数为

A.
B. 20 C.
D. 160

7．给出下列四个结论：

（1）如图
中，

D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|. 以B为起点

任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在

线段CD上的概率是
；

（2）设某大学的女生体重y(kg)与身高x(cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x－85.71，则若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；

（3）为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力;

（4）已知随机变量
服从正态分布
则

其中正确结论的个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯

视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正

方形.则这个四面体的外接球的表面积是

A.
B.
C.
D.

9．已知
，其中实数
满足
，且
的最大值

是最小值的4倍，则
的值是

A.
B.
C. 4 D.

10．对于函数
，部分
与
的对应关系如下表：

1

2

3

4

5

6

7

8

9





3

7

5

9

6

1

8

2

4





数列
满足：
，且对于任意
，点
都在函数
的图像上，则
的值为

A. 7549 B. 7545 C. 7539 D. 7553

11．已知F2、F1是双曲线
(a>0，b>0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为

A．3 B． C．2 D．

12．已知函数f(x)=
-2lnx(a∈R)，g(x)=
，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)>g(x0)成立，则实数a的范围为

A．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[0，+∞) D．(0，+∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．等差数列
中，
，则
.

14．若
，且
，则
的值为 .

15．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 .

16．在直角坐标平面xoy中，F是抛物线C:
（p>0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为
，则抛物线C的方程为__________________．

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

中内角
的对边分别为
，向量

且

（1）求锐角
的大小；

（2）如果
，求
的面积
的最大值．

18．（本小题满分12分）

如图，
是半圆
的直径，
是半圆
上除
、
外的一个动点，
垂直于半圆
所在的平面，
∥
，
，
，
．

⑴证明：平面
平面
；

⑵当三棱锥
体积最大时，

求二面角
的余弦值．

19．(本题满分12分)

某权威机构发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望．

20．(本小题满分12分)

己知
、
、
是椭圆
：
（
）上的三点，其中点
的坐标为
，
过椭圆的中心，且
，
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的直线
(斜率存在时)与椭圆
交于两点
，
，设
为椭圆
与
轴负半轴的交点，且
，求实数
的取值范围．

21. (本小题满分12分)

已知函数
=
.

（1）求函数
的单调区间；

（2）若
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（3）证明：
（
）

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

如图,圆
的直径
,
是
延长线上一点,
,割线
交圆
于点
,
,过点
作
的垂线,交直线
于点
,交直线
于点
.

(I)求证:
;

(II)求
的值.

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

已知直线

为参数), 曲线

（
为参数）.

(I)设
与
相交于
两点,求
；

(II)若把曲线
上各点的横坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线
,设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

设不等式
的解集是
，
．

（I）试比较
与
的大小；

（II）设
表示数集
的最大数．
,求证：
．

银川一中2015届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

B

D

C

A

C

B

B

A

C

D



二、填空题

13.
14. 1或
15.
16.

三．解答题

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

即

又
为锐角

（2）
由余弦定理得
即

-

又
代入上式得
（当且仅当
时等号成立）

（当且仅当
时等号成立。）…12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：因为
是直径，所以

因为
平面
，所以
，

因为
，所以
平面

因为
，
，所以
是平行四边形，

，所以
平面

因为
平面
，所以平面
平面

（Ⅱ）依题意，
，

由（Ⅰ）知

，

当且仅当
时等号成立 …………8分

如图所示，建立空间直角坐标系，则
，
，

，

则
，
，

，

设面
的法向量为
，
，

即


，

设面
的法向量为
，
，

即


，

可以判断
与二面角
的平面角互补

二面角
的余弦值为
.…12分

19．(本题满分12分)

解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分

（2）设
表示所取3人中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
，则
； …………6分

（3）
的可能取值为0，1，2，3.

；
；

；
………………10分

所以
的分布列为：

























. ……………12分

另解：
的可能取值为0，1，2，3.则
，
.

所以
=
．

20.(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）∵
且
过
，则
．

∵
，∴
，即
．

又∵
，设椭圆
的方程为
，

将C点坐标代入得
，解得
，
．

∴椭圆
的方程为
．

（Ⅱ）由条件
，当
时，显然
；

当
时，设
：
，
，消
得
由
可得，
……①…

设
，
，
中点
，则
，
, ∴
．

由
，∴
，即
。∴
，

化简得
……② ∴
将①代入②得，
。

∴
的范围是
。综上
．………12

21. (本小题满分12分)

解：函数
的定义域为
，
.

当
时，
，则