北京市2014-2015学年高三年级综合能力测试（二）

数学（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、复数
在复平面内对应的点的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

2、
的取值所在的范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3、在极坐标系中，圆
的半径为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、执行如图所示的程序框图，那么输出的
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5、已知直线

和直线

，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6、已知数列
满足
，且
，则数列
的前
项的和为（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知向量
，
是夹角为
的单位向量．当实数
时，向量
与向量
的夹角范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

9、双曲线

的离心率为 ．

10、已知
，则
．

11、如图，
是半圆
的直径，
与
相交于点
，且
．若
，则
的长为 ．

12、某门选修课共有
名学生参加，其中男生
人，教师上课时想把
人平均分成三个小组进行讨论．若要求每个小组中既有男生也有女生，则符合要求的分组方案共有 种．

13、已知函数
（其中
）经过不等式组
所表示的平面区域，则实数
的取值范围是 ．

14、已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱
，
，
，它们合成后的电流瞬时值的函数
的部分图象如图所示，则
，
．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15、（本小题满分13分）如图，在锐角三角形
中，
，点
在
边上，且
，
．

求角
的大小；

若
，求边
的长．

16、（本小题满分13分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积
分，平一场积
分，负一场积
分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积
分，乙队积
分，丙和丁队各积
分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为
，乙队胜、平、负丁队的概率均为
，且四个队之间比赛结果相互独立．

求在整个小组赛中，乙队最后积
分的概率；

设随机变量
为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量
的分布列与数学期望；

在目前的积分情况下，
同学认为：乙队至少积
分才能确保出线，
同学认为：乙队至少积
分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）

17、（本小题满分14分）已知三棱柱
中，
是以
为斜边的等腰直角三角形，且
．

求证：平面
底面
；

求
与平面
所成角的正弦值；

若
，
分别是线段
，
的中点，问在线段
上是否存在点
，使得
平面
．

18、（本小题满分13分）已知函数
．

若直线
与
在
处相切，求实数
，
的值；

若
，求证：
存在唯一极小值．

19、（本小题满分14分）已知椭圆
过点
，且其右顶点与椭圆

的右焦点重合．

求椭圆
的标准方程；

设
为原点，若点
在椭圆
上，点
在椭圆
上，且
，试判断直线
与圆
的位置关系，并证明你的结论．

20、（本小题满分13分）已知无穷整数数集
（
）具有性质
：对任意互不相等的正整数
，
，
，总有
．

若
且
，判断
是否属于
，并说明理由；

求证：
，
，
，
，
，
是等差数列；

已知
，
且
，记
是满足
的数集
中的一个，且是满足
的所有数集
的子集，求证：
，
互质是
的充要条件．

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