大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

C

A

A

C

D

B

A

C

B

B



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． 14．
15． 16．

三．解答题（本题共6大题，共70分）

17（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由等差数列
满足
知，
，所以
. ①

因为
成等比数列，所以
，整理得
，

又因为数列
公差不为
，所以
. ② ……………………2分

联立①②解得
. ……………………4分

所以
. ……………………6分

（Ⅱ）因为
，所以
， ……………………8分

所以数列
是以为首项，
为公比的等比数列， ……………………10分

由等比数列前项和公式得，
. ……………………12分

18.（本小题满分12分）

解：（I）因为
，由余弦定理知
,所以
，…1分

又因为
，则由正弦定理得
， ……………………2分

所以
， ……………………4分

因为
， ……………………5分

所以
. ……………………6分

（Ⅱ）
， ……………………8分

由已知
， ……………………9分

则

因为
，
，

所以
，整理得
.

因为
，所以
，所以
. ……………………10分

①
，

②
，

故
的取值范围是
. ……………………12分

19（本小题满分12分）

（I）证明：连接
，因为
，
是
的中点，故
.

又因为平面
平面
，面
面

，
面
，

故
平面
.

因为
面
，于是
. ……………………2分

又
，
，所以
平面
，所以
. ……………………4分

又因为
，
，故
平面
， ……………………5分

所以
. ……………………6分

（Ⅱ）由（I）得，
，不妨设
，取
的中点，以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系。因为
，所以，
，于是有
，从而
，
，设平面
的法向量
，由

得
得
， …………………………9分

同理，可求得平面
的一个法向量
，设
的夹角为
，

则
， …………………………11分

由于二面角
为钝二面角，所以所求余弦值为
. …………………………12分

20（本小题满分12分）

解：（I）因为椭圆
的左焦点为
，所以
，可得
，

故抛物线方程为
. …………………………4分

（II） 由题意知，
，因为
，所以
，

由于
，故有
① …………………………6分

由点
的坐标知，直线
的方程为
，

又因为点在直线
上，故有
， …………………………8分

将①代入上式，得
，

解得
， …………………………10分

又因为
或
，

所以直线
的斜率

或
. ………………12分

21（本小题满分12分）

（I）当
时，
，则
，

整理得
， …………………………1分

令
得
，
，

当变化时，
变化如下表：































极大值



极小值





…………………………3分

计算得
，
，

所以函数
在
处取到极大值
，在
处取到极小值
. ………………………4分

（II）由题意
，

（1）当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，此时，不存在实数
，使得当
时，函数
的最大值为
. ………………………6分

（2）当
时，令
，有
，
，

（i）当
时，函数
在
上单调递增，显然符合题意. ………………………7分

（ii）当
即
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
在
处取得极大值且
，只需
，解得
，又
，所以此时实数的取值范围是
. ………………………9分

（iii）当
即
时，函数
在
和
上单调递增，

在
上单调递减，要存在实数
，使得当
时，函数
的最大值为
，需
，

代入化简得

令
，因为
恒成立，

故恒有
，所以
时，
恒成立，

综上，实数的取值范围是
. ………………………12分

（22）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）因为
与圆相切于点，所以
．

因为
，所以
，所以
，

所以
． ……………………… 3分

因为
，所以四边形
为平行四边形． ……………………… 5分

（Ⅱ）因为
与圆相切于点，所以
，

即
，解得
， ………………………7分

根据（Ⅰ）有
，

设
，由
，得
，即
，解得
，即
.…10分

（23）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）曲线
可化为
， ………………………2分

其轨迹为椭圆，焦点为
. ………………………3分

经过
和
的直线方程为
,即
. ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线
的斜率为
，因为
，所以
的斜率为
，倾斜角为
，

所以
的参数方程为
（为参数）， ………………………7分

代入椭圆
的方程中，得
. ………………………8分

因为
在点
的两侧，所以
. ………………………10分

（24）（本小题满分10分）

（Ⅰ）因为
，所以
，所以
，……………3分

由题意知
，所以
. ………………………5分

（Ⅱ）因为
图象总在
图象上方，所以
恒成立，

即
恒成立， ………………………7分

因为
，当且仅当
时等式成立，…9分

所以的取值范围是
. ………………………10分