2014-2015年度第一学期期末考试

高三数学（理科）参考答案及评分标准

第I卷

一、选择题：

DBCDB BCDAC AB

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）5　　（14）8　 （15）①②④ （16）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17) （本小题满分10分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝1，且点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．

(2)求数列{an·bn}的前n项和Dn.

【解】　(1)当n＝1时，a1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，

所以an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以an＝2n，

又点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上，所以bn＋1＝bn＋2，

所以{bn}是等差数列，公差为2，首项b1＝1，所以bn＝2n－1. ……………………6分

(2)由(1)知an·bn＝(2n－1)×2n，

所以Dn＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，①

2Dn＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.②

①－②得－Dn＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1

＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1

＝(3－2n)2n＋1－6，

则Dn＝(2n－3)2n＋1＋6. ……………………12分

(18)（本小题满分12分）

己知向量
，记
.

(I)若
，求
的值；

( II)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(
,

求函数
的取值范围．

解：（Ⅰ）
=

=

因为
，所以
…………………………………4分

……………………6分

（Ⅱ）因为

由正弦定理得

所以

所以

因为
，所以
，且

所以

……………………9分

所以
……………………10分

又因为

……………………11分

故函数
的取值范围是
……………………12分

(19)（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，侧棱
平面
，

为等腰直角三角形，
，且
分别是

的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求锐二面角
的余弦值.

【解析】（Ⅰ）连结
，∵是等腰直角三角形
斜边
的中点，∴
.

又三棱柱
为直三棱柱，

∴面
面
，

∴
面
，
. -------2分

设
，则
.

∴
，∴
. -------------------4分

又
，∴
平面
.-------------------6分

（Ⅱ）以为坐标原点，
分别为
轴建立直角坐标系如图，设
，

则
，

，
.

-------------------8分

由（Ⅰ）知，
平面
，

∴可取平面
的法向量
.

设平面
的法向量为
，

由

∴可取
.-------------------10分

设锐二面角
的大小为
，

则
.

∴所求锐二面角
的余弦值为
.-------------------12分

(20)（本小题满分12分）

我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在
为优秀，各类人群可正常活动.某市环保局对该市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.

(1) 求的值；

(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；

（注：设样本数据第组的频率为
，第组区间的中点值为

，则样本数据的平均值为
.）

(3) 如果空气质量指数不超过
，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取
天的数值，其中达到“特优等级”的天数为
，求
的分布列和数学期望.

解： (1)由题意，得
，

解得
. ……………4分

（2）
个样本中空气质量指数的平均值为

由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为
. …………8分

（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
内为“特优等级”，

且指数达到“特优等级”的概率为
，则
.

的取值为
，

，
，

，
. ……………10分























 ∴
的分布列为：

∴
. ……………12分

（或者

(21)（本小题满分12分）

已知椭圆

的离心率为
，过
的左焦点
的直线
被圆
截得的弦长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
的右焦点为
，在圆
上是否存在点，满足
,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.

解：因为直线
的方程为
，令
，得
，即
……1分

∴
，又∵
，∴
，

∴ 椭圆
的方程为
.………………………………………6分

（2）存在点P，满足

∵ 圆心
到直线
的距离为
，

又直线
被圆
截得的弦长为
，

∴由垂径定理得
，

故圆
的方程为
.

设圆
上存在点
，满足
即
，

且
的坐标为
，

则
， 整理得
，它表示圆心在
，半径是
的圆。

∴
………………………………………１0分

故有
，即圆
与圆
相交，有两个公共点。

∴圆
上存在两个不同点，满足
.………………………１2分

（22）（本小题满分12分）

已知函数f（x）=－x2+2lnx与g(x)=x+
有相同极值点．

(1) 求实数a的值；

(2) 若x1 ，x2是区间[2，3 ] 内任意两个不同的数，求证：

(3) 若对于任意x1 ，x2∈[
，3 ]，不等式
≤1恒成立，求实数k的取值范围．

解：（1）由

知当
时
；当
时
；

∴　
在
上为增函数，在
上为减函数．

∴　
为函数
的极大值点． ……………………………………2分

又函数f（x）=－x2+2lnx与g(x)=x+
有相同极值点，

∴
是函数
的极值点，

∵　
．∴　
，解得
．

经检验，当
时，函数
取到极小值，符合题意． ………………………4分

（2）由（1）知函数
在[2，3 ]上单调递减，

不妨设

，

令
…………………………………6分

则
，因为
在
上单调递减，且

当
时，

所以函数
在[2，3 ]上单调递增，
，所以问题得证。 ………8分

（3）∵　
，
，
，

∵　
， 即
，

∴　
，
．

由（1）知
，∴
.

当
时，
；当
时，
．

故
在
为减函数，在
上为增函数．

∵　
，

而
,

∴　
，
．

①　当
，即
时，对于
，不等式
恒成立

，∴
，

又∵
，∴　
． ………………………………………………10分

②　当
，即
时，对于
，不等式

．

∵
，

∴　
．又∵
，∴　
．

综上，所求的实数的取值范围为
． …………… 12分