2014-2015年度第一学期期末考试

高三数学（文科）参考答案及评分标准

第I卷

一、选择题：

DBCDB BCDAC AB

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）－ （14）8　（15）①②④ （16）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17) （本小题满分10分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝1，且点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．

(2)求数列{an·bn}的前n项和Dn.

【解】　(1)当n＝1时，a1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，

所以an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以an＝2n，

又点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上，所以bn＋1＝bn＋2，

所以{bn}是等差数列，公差为2，首项b1＝1，所以bn＝2n－1. ……………………6分

(2)由(1)知an·bn＝(2n－1)×2n，

所以Dn＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，①

2Dn＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.②

①－②得－Dn＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1

＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1

＝(3－2n)2n＋1－6，

则Dn＝(2n－3)2n＋1＋6. ……………………12分

(18)（本小题满分12分）

己知向量
，记
.

(I)若
，求
的值；

( II)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(
,

求函数
的取值范围．

解：（Ⅰ）
=

=

因为
，所以
…………………………………4分

……………………6分

（Ⅱ）因为

由正弦定理得

所以

所以

因为
，所以
，且

所以

……………………9分

所以
……………………10分

又因为

……………………11分

故函数
的取值范围是
……………………12分

(19)（本小题满分12分）

己知斜三棱柱
的底面是边长为2的正三角

形，侧面
为菱形，
，平面

平面ABC，M、N是AB,
的中点．

(I)求证：CM//平面
．

( II)求证：
BN；

证明：（Ⅰ）取
的中点，连接
,
.

因为
,分别是
,
的中点，

所以
∥
,
………2分

又因为
∥
,

所以
∥
且

所以 四边形
为平行四边形，

所以
∥
．………………………………………………………………4分

又因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
． ………………………………………………………6分

（Ⅱ）取
的中点
,连结
，
.

由题意知

，又因为 平面
平面
，

所以
平面
． …………………………………………8分

因为
平面
所以

因为 四边形
为菱形，所以

又因为
∥
, 所以

所以
平面
， 又
平面
…………………………10分

所以
． ……………………………………………12分

(20)（本小题满分12分）

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50





（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？

（2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.

17.解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为

∴男生应该抽取
人 …………………………４分

（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。女生2人记
；男生4人为
， 则从6名学生任取2名的所有情况为:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共15种情况，……………………8分

其中恰有1名女生情况有：
、
、
、
、
、
、
、
，共8种情况， …………………………10分

故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为
. …………………12分

(21)（本小题满分12分）

如图，已知点为椭圆

的右焦点，圆

与椭圆
的一个公共点为
，且直线
与圆相切于点.

（Ⅰ）求的值及椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设动点
满足
，

其中M、N是椭圆
上的点，
为原点，直线OM

与ON的斜率之积为
，求证：
为定值.

解：（Ⅰ）由题意可知
，又
. 又
. ……..2分

在
中，
，

故椭圆的标准方程为：
………..6分

（Ⅱ）设
,
,

∵M、N在椭圆上， ∴

又直线OM与ON的斜率之积为
， ∴
， ………………10分

于是

. 故
为定值. ……..12分

（22）（本小题满分12分）

已知函数f（x）=－x2+2lnx与g(x)=x+
有相同极值点．

(1) 求实数a的值；

(2) 若x1 ，x2是区间[2，3 ] 内任意两个不同的数，求证：

(3) 若对于任意x1 ，x2∈[
，3]，不等式
≤1恒成立，求实数k的取值范围．

解：（1）由

知当
时
；当
时
；

∴　
在
上为增函数，在
上为减函数．

∴　
为函数
的极大值点． ……………………………………2分

又函数f（x）=－x2+2lnx与g(x)=x+
有相同极值点，

∴
是函数
的极值点，

∵　
．∴　
，解得
．

经检验，当
时，函数
取到极小值，符合题意． ………………………4分

（2）由（1）知函数
在[2，3 ]上单调递减，

不妨设

，

令
…………………………………6分

则
，因为
在
上单调递减，且

当
时，

所以函数
在[2，3 ]上单调递增，
，所以问题得证。 ………8分

（3）∵　
，
，
，

∵　
， 即
，

∴　
，
．

由（1）知
，∴
.

当
时，
；当
时，
．

故
在
为减函数，在
上为增函数．

∵　
，

而
,

∴　
，
．

①　当
，即
时，对于
，不等式
恒成立

，∴
，

又∵
，∴　
． ………………………………………………10分

②　当
，即
时，对于
，不等式

．

∵
，

∴　
．又∵
，∴　
．

综上，所求的实数的取值范围为
． …………… 12分