一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，集合
，
，则

A．
B．

C．

D．

2. 已知
，为虚数单位，且
，则
的值为

A． B．
C．
D．

3. 函数
是

A．奇函数且在
上单调递增 B．奇函数且在
上单调递增

C．偶函数且在
上单调递增 D．偶函数且在
上单调递增

4.下列有关命题说法正确的是

A. 命题：“
”，则
是真命题

B．
的必要不充分条件

C．命题
的否定是：“
”

D．“
”是“
上为增函数”的充要条件

5．若变量
满足约束条件
，
，则取最小值时，
二项展开式中的常数项为

A．
B．
C．
D．

6. 若
，则
=

A． 0 B．
C． 3 D． 2

7．已知
，二次三项式
对于一切实数恒成立．又
，使
成立，则
的最小值为

A．1 B．
C． D．2

8．已知正方体
的棱长为，动点在正方体表面上且满足
,则动点的轨迹长度为

A．
B．
　 C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置．

11．已知向量
，
，若向量
，则实数
的值是 .

12．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取 人．

13．已知直线
与圆
相切，若
，
，则
的最小值为 ．

14．已知
，函数
若函数
在
上的最大值比最小值大
，则的值为 ．

15．选考题（请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果全选，则按A题结果计分）

A. 已知函数
，
．若不等式
的解集为R，则的取值范围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共75分。写出详细的解答或证明过程

16．（本小题满分12分）已知函数
（其中
，
，
）的最大值为2，最小正周期为
.

（Ⅰ）求函数
的解析式及函数的增区间；

（Ⅱ）若函数
图象上的两点
的横坐标依次为
，
为坐标原点，求△
的面积.

17．（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为
，乙组能使生物成活的概率为
，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．

　（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；

　（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；

　（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为
，求
的期望．

18．（本小题满分12分）已知数列
的前项和
（其中
为常数），

且
，
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求数列
的前项和
．

19．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱
中，△
是边长为的等边三角形，
平面
，，分别是
，
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）若
为
上的动点，当
与平面
所成最大角的正切为
时，求平面
与平面
所成二面角（锐角）的余弦值．

20．（本小题满分13分）已知椭圆
的中心在坐标原点，两个焦点分别为
，

，点
在椭圆
上，过点的直线与抛物线
交于
两点，抛物线
在点
处的切线分别为
，且
与
交于点．

（Ⅰ） 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）是否存在满足
的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由．

参考答案：

18. 解：（Ⅰ）当
时，

则

，

19. 解1：（Ⅰ）略

（Ⅱ）略解
平面
.
为
与平面
所成的角，

由

，
.
，

由当
最短时，
的值最大， ∴当
时，

.∴
.

由
为平面
与平面
所成二面角（锐角）.


.

∴平面
与平面
所成二面角（锐角）的余弦值为
.

解2：由
.

.

建立空间直角坐标系
.

则
，

，
，
.

∴

，

，

.

设平面
的法向量为
，

由
，
，
平面
的一个法向量为
. ∵
平面
， ∴

是平面
的一个法向量.

∴


.

设点
，由②③得：

，而
，则
. 代入②得
，则
，
代入 ① 得
，

即点的轨迹方程为
.若
，则点在椭圆
上，而点又在直线
上，经过椭圆
内一点
,∴直线
与椭圆
交于两点.即：满足条件
的点有两个.

或：设点
,
，
，

在点处的切线
的方程为
，即
.

∵
， ∴
.∵点
在切线
上, ∴
.①

同理，
. ② 综合①、②得，点
的坐标都满足方程
.∵经过
的直线是唯一的，

∴直线的方程为
， ∵点
在直线上，

即点的轨迹方程为
.

若
，则点在椭圆
上，又在直线
上，

∵直线
经过椭圆
内一点
,~~~

21. （Ⅰ）解：∵关于的不等式
的解集为
，

等价于
的解为
，

∴
. ∴
.

①当
时，
，方程（*）的两个实根为

则函数
在
上单调递减，在
上单调递增.∴函数
有极小值点
.

②当
时，由
,得
或
，

若
，则

故

时，
，∴函数
在
上单调递增. 函数
没有极值点.

若
时，

∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.

∴函数
有极小值点
，有极大值点
.

综上所述, 当
时，
取任意实数, 函数
有极小值点
；

当
时，
，函数
有极小值点
，有极大值点
.

(其中
,
)

证法2：用数学归纳法证明不等式

.

① 当
时，左边
，右边
，不等式成立；

② 假设当

N
时，不等式成立，即

，

则

.

也就是说，当
时，不等式也成立. 由①②可得，对
N
，