成都实验外国语学校高2015届（高三文科）数学月考

一、选择题（每小题5分，共50分）：

1、设集合
，
，全集
，则集合
中的元素共有 （
）

个
个
个
个

2、已知
（其中
为虚数单位），则实数
分别为 （
）

3、命题
“
”的否定是 （
）

4、图㈠中阴影部分的面积
是
的函数
，则该函数的大致图象是 （C）

5、过点
作圆
的两条切线
(
和
为切点)，则
(
)

6、已知
，则
的最小值为 （
）

7、若函数
与
的对称轴完全相同，则函数
在
上的递增区间是 （
）

8、正方体
中，点
是底面正方形
内的一个动点，若直线
，
所成的角等于
，则以下说法正确的是（
）

点
的轨迹是圆的一部分

点
的轨迹是椭圆的一部分

点
的轨迹是双曲线的一部分

点
的轨迹是抛物线的一部分

9、如图，给出的是计算
的

值的一个程序框图，则图中判断框内①处

和执行框中的②处应填的语句分别是 （
）

10、对于函数
，若
，
为某一三角形的边长，则称
为“可构造三角形函数”。已知函数
是“可构造三角形函数”，则实数
的取值范围是 （
）

二、填空题（每小题5分，共25分）：

11、函数
的定义域为____
_________

12、若对于任意
恒成立，则
的取值范围是___
______

13、在平面直角坐标系中，若不等式组
为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则
____3_________

14、已知不重合的直线
和平面
，且
，给出下列命题：①若
∥
，则
；②若
，则
∥
；③若
，则
∥
；④若
∥
，则
。其中正确命题的是___①___④____________

15、已知函数
，记

设
，若
，则
的最大值为____5_______

三、解答题（共75分）：

16、（12分）已知函数
。

⑴求函数
周期、单调性、对称点、对称轴。

⑵设
，求
的值。

解：⑴

由
得单增区间：

由
得单减区间：

对称点为

对称轴为

⑵∵
∴

又∵
∴

而
∴

∴

17、（12分）把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为
，第二次出现的点数为
，试就方程组
，解答下列问题：

⑴求方程组没有解的概率；

⑵求以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率。

解：⑴由题意知，总的样本空间有36组。若方程没有解，则

∴符合条件的数组为（1,2），（2,4）,(3,6)。 ∴

即方程组没有解的概率为
。

⑵由方程组得

若
，则有
符合条件的数组有（2,5），（2,6）共2个

若
，则有
符合条件的数组有（1,1）共1个 ∴

即方程组的解为坐标的点在第四象限的概率为
。

18、（12分）在公差不为0的等差数列
中，
，且
成等比数列。

⑴求数列
的通项公式；

⑵设
，试比较
与
的大小，并说明理由。

解：⑴设等差数列
的公差为
，由已知得

，注意到
，解得

∴

⑵由⑴可知：

∵

∴

19、（12分）如图，在侧棱垂直于底面的四棱柱
中，

，
是
的中点，
是平面
与直线
的交点。

⑴证明：
；

⑵证明：
平面
；

⑶求
与平面
所成的角的正弦值。

解：⑴∵
∥
，
平面
∴
∥平面

又∵平面
平面
=
∴
∥

∴
∥

⑵∵
平面
∴

又∵
∴
平面
∴

在矩形
中，
是
的中点，

∴
故
∴

又∵
∴
平面

⑶设
与
交点为
，连接
， 由⑵知
平面

∴
是
与面
所成的角

在矩形
中，
从而得

在
中，
∴

∴
与平面
所成的角的正弦值是
。

20、（13分）已知点
在椭圆
上，过椭圆
的右焦点
的直线
与椭圆
交于
两点。

⑴求椭圆
的方程；

⑵若
是椭圆
经过原点
的弦，且
，
，试判断
是否为定值？若
为定值，请求出这个定值；若
不是定值，请说明理由。

解、⑴椭圆
的右焦点为
， ∴
，椭圆
的左焦点为

∴
，

∴
∴

⑵①当直线斜率不存在时，

∴

②当直线斜率存在时，设直线
的方程为
且

由
得

由
得
设
，则

∴

综上所述，
为定值4。

21、（14分）设函数
。

⑴当
时，求
的最大值；

⑵求函数
的单调区间；

⑶设
，若对于任意给定的
，方程
在
内有两个不同的实数根，求
的取值范围。

解：⑴
时

由
再结合
得

当
时
，则
是增函数；

当
时
，则
是减函数

∴

0

⑵
由
得
，

该方程的判别式
，可知方程有两个实数根

又
∴取

当
时
，函数
单调递增；

当
时
，函数