四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试

理科数学试题

1．已知集合
，
，

则

A．
B．
C．
D．

2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）.

甲组



乙组





9

0

9









5

1

3



8



7

1

2

7







已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则
、
的值分别为

A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7

3．已知复数
满足：
（
是虚数单位），则
的虚部为

A．
B．
C．
D．

4．为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象

A．向右平移
个单位长 B．向右平移
个单位长

C．向左平移
个单位长 D．向左平移
个单位长

5．已知向量
，
，若
，则实数
的值为

A．1 B．
C．
D．

6．设
、
是实数，则“
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．执行如图所示的程序框图，如果输入
，

的值均为2，最后输出
的值为
，

在区间
上随机选取一个数D，

则
的概率为

A．
B．

C．
D．

8．从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是

A．590 B．570 C．360 D．210

9．已知双曲线
（a＞0,b＞0）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若
，则
=

A．14 B．16

C．18 D．20

10．若函数
满足对任意的
，都有
成立，则称函数
在区间
上是“被
约束的”。若函数
在区间
上是“被
约束的”，则实数
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）

11．圆心在原点且与直线
相切的圆的方程为 ▲

12．某几何体的三视图（单位：
）如题所示，则此几何体的体积为

▲

13．已知定义在R上的函数
满足
，

且
，则
▲

14．如图，从气球
上测得正前方的河流的两岸
，
的俯角分别为

,
，此时气球的高是
，则河流的宽度
等于 ▲

15．若函数
满足
（其中
不同时为0），则称函数
为“准奇函数”，称
点
为函数
的“中心点”。现有如下命题：

①函数
是准奇函数；

②若准奇函数
在R上的“中心点”为
，则函数
不是R上的奇函数；

③已知函数
是准奇函数，则它的“中心点”为
；

④已知函数
为“准奇函数”，数列
是公差为
的等差数列，若
（其中
表示
），则

其中正确的命题是 ▲ 。
（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。答在答题卷指定位置。

16．（本小题满分12分）

已知函数
，其中A、B、C是
的三个内角，且满足
，

（1）求
的值；

（2）若
，且
，求
的值。

▲





17．（本小
题满分12分）

由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾
气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示。

节排器等级如表格所示

综合得分K的范围

节排器等级





一级品





二级品





三级品



若把频率分布直方图中的频率视为概率，则

（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；

（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数
的分布列及数学期望；

▲





18．(本小题满分12分)

如图，已知四边形ABCD为正方形，
平面
，
∥
，且

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角

的余弦值。

▲





19．（本小题满分12分）

已知数列
为等差数列，其中

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，
为数列
的前
项和，当不等式
（
）恒成立时，求实数
的取值范围。

▲





20．（本小题满分13分）

已知定点
，
，定直线
：
，动点
与点
的距离是它到直线
的距离的
.设点
的轨迹为
，过点
的直线交
于
、
两点，直线
、
与直线
分别相交于
、
两点。

（1）求
的方程；

（2）以
为直径的圆
是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

▲





21．（本小题满分14分）

已知函数
（
是自然对数的底数）,

（1）若
，求
的极值；

（2）对任意
证明：
；

（3）对任意
都有
成立，求实数
的取值范围。

▲





遂宁市高中2015届第二次诊断性考试

数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：每小题5分，满分50分

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，

11．
； 12．90； 13．
； 14．
15．①③④

三、解答题（本大题共6个小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

解：（1）因为
，所以
，又
，

从而
................3分

所以
.

..............6分

（2）
，

因为
所以
，从而
或
（舍去）。 ...............9分

由正弦定理知
，所以
...............12分

17．（本小题满分12分）

②由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为
，二级品的概率为
，三级品的概率为
，如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数
可能的值为0，1，2，3 ...............6分

又

因而
的分布列为

0

1

2

3















 ...............10分

..............12分

（法二：因为
～
，所以
）

1
8．(本小题满分12分)

（法二）

以点A为坐标原点，AD所在的
直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，则

，

所以

从而有
·
=0，
·
=0

所以

又因为
从而
面
...............6分

由（1）知向量
为平面
的法向量

设平面
的法向量为

则
即
；令
得

故

...............10分

所以二面角
的余弦值为
...............12分

①当
为偶数时，要使不等式
（
）恒成立，只需不等式
恒成立即可，∵
，等号在
时取得，∴
...............9分

②当
为奇数时，要使不等式
（

）恒成立，只
需不等式
恒成立即可，∵
是随
的增大而增大，∴
时，
取得最小值
，∴
...............11分

综合①②可得
的取值范围是
...............12分

20．（本小题满分13分）

解：（1）
，设
为C上任意一点，依题意有

∴
...............5分

（2）易知直线
斜率不为0，设直线
方程为

由
，得

设
，
，则
，
...............7分

由
，知
方程为
，点
坐标为

同理，点