2015年安徽省“江南十校”高三联考

数 学（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 若复数
（其中
，
为虚数单位）的实部与虚部相等，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知命题

，有
，命题

是
的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 下列结论正确的是（ ）

A. 若直线
平面
，直线
平面
，则

B. 若直线
平面
，直线
平面
，则

C. 若两直线
.
与平面
所成的角相等，则

D. 若直线
上两个不同的点
.
到平面
的距离相等，则

4. 已知四个函数
，
，
，
在
上的图象如下，则函数与序号匹配正确的是（ ）

A.
—①，
—②，
—③，
—④

B.
—①，
—②，
—③，
—④

C.
—①，
—②，
—③，
—④

D.
—①，
—②，
—③，
—④

5. 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道. 地下通道设计三视图中的主（正）视图（其中上部分曲线近似为抛物线）和侧（左）视图如下（单位：
），则该工程需挖掘的总土方数为（ ）

A.

B.

C.

D.

6. 已知点
，点
为平面区域
上的一个动点，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数
（
），若导函数
在区间
上有最大值
，则导函数
在区间
上的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 在二项式
（
）的展开式中，常数项为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动. 若甲. 乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 以椭圆
的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线
，其左. 右焦点分别是
.
. 已知点
坐标为
，双曲线
上点
（
，
）满足
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）

11. 已知随机变量
，若
，则
.

12. 运行如右图所示的程序框图后，输出的结果是 .

13. 已知直线
的参数方程是
（
为参数），曲线
的极坐标方程是
，则曲线
上到直线
的距离为
的点个数有 个.

14. 对于
（
为公比）的无穷等比数列
（即项数是无穷项），我们定义
（其中
是数列
的前
项的和）为它的各项的和，记为
，即
. 则循环小数
的分数形式是 .

15. 在棱长为
的正方体
中，
是
的中点，点
在侧面
上运动. 现有下列命题：

①若点
总保持
，则动点
的轨迹所在曲线是直线；

②若点
到点
的距离为
，则动点
的轨迹所在曲线是圆；

③若
满足
，则动点
的轨迹所在曲线是椭圆；

④若
到直线
与直线
的距离比为
，则动点
的轨迹所在曲线是双曲线；

⑤若
到直线
与直线
的距离相等，则动点
的轨迹所在曲线是抛物线.

其中真命题是 . （写出所有真命题的序号）

三. 解答题（本大题共6小题，满分75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）

16. （本小题满分12分）已知函数
（
），其图象过点
.

求函数
在
上的单调递减区间；

若
，
，求
的值.

17. （本小题满分12分）某校为了解
届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前
个小组的频率之比为
，其中第二小组的频数为
.

求该校报考飞行员的总人数；

若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选
人，设
表示体重超过

的学生人数，求
的数学期望与方差.

18. （本小题满分12分）已知抛物线

的焦点为
.

设抛物线上任一点
，求证：以
为切点与抛物线相切的切线方程是
；

若过动点
（
）的直线
与抛物线
相切，试判断直线
与直线
的位置关系，并予以证明.

19. （本小题满分12分）如图，已知五面体
，其中
内接于圆
，
是圆
的直径，四边形
为平行四边形，且
平面
.

证明：
；

若
，
，且二面角
所成角
的正切值是
，试求该几何体
的体积.

20. （本小题满分13分）已知函数
（
）.

求函数
的最大值；

若
，证明：
；

若
，
，
，且
，证明：
.

21. （本小题满分14分）已知数列
满足
，
（
）.

证明：数列
是等比数列；

令
，数列
的前
项和为
，

证明：
；

证明：当
时，
.

参考答案

选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

A

C

B

D

A

D

C

B

D

A





答案A解析：

由条件得，

.

答案C解析：命题
为真，命题
为假.

答案B解析：A选项中两直线也可能相交或异面，B选项中直线与平面也可能相交，D中选项也可能相交.

4. 答案D解析：图像①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有
；图像②④恒在
轴上方，即在
上函数值恒大于
，符合的函数有
和
，又图像②过定点
，其对应函数只能是
，那图像④对应
，图像③对应函数
.

5. 答案A解析：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为
轴建立直角坐标系，易得抛物线过点
，其方程为
，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积
，下部分矩形面积
，故挖掘的总土方数为

.

6. 答案D解析：不等式组
表示的平面区域如图,结合图像可知
的最小值为点A到直线
的距离，即
.

7. 答案C解析：
，令
是奇函数，由
的最大值为10知：
的最大值为
，最小值为
，从而
的最小值为
.

答案B解析：展开式中第