2015年安徽省“江南十校”高三联考

数 学（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、复数
（
为虚数单位）的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

2、设集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3、设命题

，
，且
；命题
关于
的函数
（
且
）是指数函数，则命题
是命题
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ）

A．
B．

C．
D．

5、设等比数列
的前
项和为
，且
，
，则
的值是（ ）

A．
B．

C．
D．

6、若函数
（
且
）的图象经过定点
，且过点
的直线
被圆

截得的弦长为
，则直线
的斜率为（ ）

A．
或
B．
或
C．
或
D．
或

7、已知点
、
、
、
，则向量
在
方向上的投影为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、已知函数
，将
图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，若对任意
，都有
成立，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知函数
若函数
在
上恰有两个相异零点，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、在正方体
中，

①经过点
垂直于平面
的直线也垂直于平面
；

②设
为
和
的交点，则异面直线
与
所成的角是
；

③若正方体的棱长为
，则经过棱
、
、
中点的正方体的截面面积为
；

④若点
是正方形
内（包括边界）的动点，点
在对角线
上，且满足
，
，则点
的轨迹是线段．

以上命题正确的个数为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11、命题：“存在
，使得
”的否定是 ．

12、
．

13、若实数
，
满足约束条件
，则
的取值范围为 ．

14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：

，则蚂蚁在爬行过程中经过的第
个格点
坐标为 ．

15、若曲线
上任意一点与直线
上任意一点的距离都大于
，则称曲线
“远离”直线
．在下列曲线中，“远离”直线

的曲线有 ．（写出所有符合条件的曲线
的编号）

①曲线

；②曲线

；

③曲线

；④曲线

；

⑤曲线

．

三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分12分）已知函数
．

求函数
的最小正周期；

在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
求
的值．

17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为
，
，
，
，
，
，现已知成绩落在
的有
人．

求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；

根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；

现要从成绩在
和
的学生中共选
人参加某项座谈会，求
人来自于同一分数段的概率．

18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列
满足
（
），且
，
．

证明：数列
是等差数列；

设
，
的前
项和为
，求证：
．

19、（本小题满分13分）如图，圆柱
的底面圆半径为
，
为经过圆柱轴
的截面，点
在
上且
，
为
上任意一点．

求证：
；

若直线
与面
所成的角为
，求圆柱
的体积．

20、（本小题满分13分）已知函数
，其中
．

当
时，求曲线
在
处的切线方程；

讨论
在其定义域上的单调性．

21、（本小题满分13分）已知椭圆

（
）经过点
，它的左焦点为
，直线

与椭圆
交于
，
两点，
的周长为
．

求椭圆
的方程；

若点
是直线

上的一个动点，过点
作椭圆
的两条切线
、
，
、
分别为切点，求证：直线
过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆
（
）上一点
的椭圆的切线方程为
）

参考答案

1.
．
，故选

2.
．
，

故选

3.
．命题
；命题
，故选

4.
．由程序框图可知，最后输出的
，故选

5.
．由等比数列性质可知
也成等比，易求出
, 故选

6.
．
,设
，圆C：
，圆心
到
的距离

，
故选

7.
．

在
方向上的投影为

,故选

8.