山东省日照市2015届高三3月模拟考试

数学（理）试题

2015．03

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.集合

A.
B.
C.
D.

2.已知复数
是实数，则实数t等于

A.
B.
C.
D.

3.已知命题
，则

A.p是假命题：

B. p是假命题：

C. p是真命题：

D. p是真命题：

4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为

①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.

中的

A.①② B.②③

C.③④ D.①④

5.已知x，y满足
的最大值是最小值的4倍，则
的值是

A.
B.

C.
D.4

6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为

A.1008 B.2015

C.1007 D.

7.已知函数
是函数
的导函数，则
的图象大致是

8.已知函数
则满足
的实数a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC（k为常数，且
），BD=l为定长，则△ABC的面积最大值为

A.
B.
C.
D.

10.已知定义域为R的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，则
的大小关系正确的是

A.
B.
C.
D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若双曲线
的离心率为2，则
________.

12.设随机变量
，则
______.

13.如右图，在
中，若
_.

14.学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法.

15.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

已知函数
的最大值为2，且最小正周期为
.

（I）求函数
的解析式及其对称轴方程；

（II）若
的值.

17. （本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面
平面ABC，
是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在
的平分线上.

（I）求证：DE//平面ABC；

（II）求二面角
的余弦值.

18. （本小题满分12分）

学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：

规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.

（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；

（II）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，

记
表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求
的分布列及数学期望.

19. （本小题满分12分）

已知数列
中，

（I）求证：数列
是等比数列；

（II）若
是数列
的前n项和，求满足
的所有正整数n.

20. （本小题满分13分）

已知函数
，其中e为自然对数的底数.

（I）求曲线
在点
处的切线方程；

（II）若对任意
，不等式
恒成立，求实数m的取值范围；

（III）试探究当
时，方程
的解的个数，并说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知椭圆
，其中
为左、右焦点，O为坐标原点.直线l与椭圆交于
两个不同点.当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
时，原点O到直线l的距离为
.又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
.

（I）求椭圆C的方程；

（II）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为
时，求平行四边形OQNP的对角线之积
的最大值；

（III）若抛物线
为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标.

2015年高三模拟考试

理科数学参考答案与评分标准 2015.03

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

DABBB DADCA

1.解析: 答案D ，
.故选D.

2.解析: 答案A ,求出z1·
的虚部，令其为0. ∵复数z1=3+4i，z2=t+i，

∴z1?
=（3t+4）+（4t﹣3）i，∵z1?
是实数，∴4t﹣3=0，∴t=
.故选A.

3.解析: 答案B ,由
得
即
,显然无解，所以p是假命题，又由含量词命题的否定易得
p：
,
.故选B.

4.解析：答案B，若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.

5.解析: 答案B ，

先画出
，
满足
的可行域如右图：

由
?，得B(1，1)，由
，得C(a，a)，当直线
过点B(1，1)时，目标函数
取得最大值，最大值为3；当直线
过点C(a，a)时，目标函数
取得最小值，最小值为3a；由条件得
，所以a=
，故选B.

6.解析：答案D ，

由程序框图可知
.所以选D.

7.解析：答案A ，本题可用排除法，∵f（x）=
x2+sin(
+x)，∴
=
x+cos(
+x)=
x﹣sinx．∴函数
为奇函数，故B、D错误；又
，故C错误；故选A．

8.解析:答案D ,当
时，
，解得
，此时
；

当
时，
，解得
，此时
.

故实数
的取值范围是
．故选D．

9. 解析: 答案 C，如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系， 设
，

，即

整理得：
，即
，
∴
.故选C.

10. 解析: 答案 A，利用条件构造函数h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=
f（
）=h（
），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln
）f（ln
）=h（ln
）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞
，∴b＞c＞a．故选A．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
; 12. 0.2 ; 13.
; 14. 10 ； 15.
.

11.解析：答案
，由题意知
=2，（a＞0），由此可以求出a的值
．

12.解析：答案 0.2 ，因为
，所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为
，所以

.

13.解析：答案

，

因为
,所以
=7.

14.解析：答案 10，分1个篮球
个排球和2个篮球2个排球两种情况.
.

15.解析：答案
，每次转动一个边长时，圆心角转

过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点.在

这11次中，半径为1的6次，半径为
的3次，半径为0的

2次，点
走过的路径的

长度=
+
=
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.解析：（Ⅰ）

,

由题意知：
的周期为
，由
，知
………………………………………………………2分

由
最大值为2，故
，又
，

∴
………………………………………………………………………………………………………4分

令
，解得
的对称轴为
……………………………………6分

（Ⅱ）由
知
，即
，

∴
……………………………………………10分

………………………………………………………………12分

17.解析：（Ⅰ）证明：由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，连接
，则
，
，

又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，

那么
，根据题意，点
落在
上，

∴
，易求得
，

∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面

…………6分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系
，可知平面
的一

个法向量为
,
,
,
,

设平面
的一个法向量为
,

则，
可求得
．………………9分

所以
，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，

所以二面角
的余弦值为
．……12分

(18)解：（Ⅰ）设
表示所取3人中有
个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件
，则
……………6分

（Ⅱ）
的可能取值为0、1、2、3 ,

;
;

;
.

分布列为























 ……………10分

. ……………12分

注：用二项分布直接求解也可以．

19．解：（Ⅰ）设
，

因为
=
=