山东烟台2015高考诊断性测试数学文

一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

1. 设
是虚数单位，
，若
是一个纯虚数，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知集合
，
，则下列结论成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知向量
，
，
. 若
为实数且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 若条件

，条件

，且
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为
，则该几何体体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 已知点
的坐标满足
，
点的坐标为
，点
为坐标原点，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 将函数
（
）的图象分别向左. 向右各平移
个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 右图是一容量为
的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知
是直线
（
）上一动点，
是圆

的一条切线，
是切点，若线段
长度最小值为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知
，不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）

11. 函数
的定义域为 .

12. 某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：

①
；②
；③
；④
，则可以输出的函数的序号是 .

13. 已知曲线
在
处的切线方程为
，则实数
的值为 .

14. 已知抛物线
的焦点
与双曲线
的右焦点重合，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上，且
，则
的面积为 .

15. 关于方程
，给出下列四个命题：①该方程没有小于
的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在
内有且只有一个实数根；④若
是方程的实数根，则
，其中所有正确命题的序号是 .

三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）

16. （本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从
年开始，将对二氧化碳排放量超过

的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲. 乙两品牌轻型汽车各抽取
辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：
）.

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为

.

求表中
的值，并比较甲. 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；

从被检测的
辆甲品牌轻型汽车中任取
辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过

的概率是多少？

17. （本小题满分12分）已知函数
，其中
，
，
.

求函数
的单调递减区间；

在
中，角
.
.
所对的边分别为
.
.
，
，
，且向量
与
共线，求边长
和
的值.

18. （本小题满分12分）如图，
是正方形，
平面
.

求证：
平面
；

若
，
，点
在线段
上，且
，求证：
平面
.

19. （本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，
.
满足
（
为常数，
且
）.

求数列
的通项公式；

设
，当
时，求数列
的前
项和
.

20. （本小题满分13分）已知函数
，
（
）.

若
的图象与
的图象所在两条曲线的一个公共点在
轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求
和
的值；

若
，
，试比较
与
的大小，并说明理由.

21. （本小题满分12分）已知椭圆

（
）的离心率为
，右焦点到直线
的距离为
.

求椭圆
的方程；

已知点
，斜率为
的直线
交椭圆
于两个不同点
.
，设直线
与
的斜率分别为
，
，①若直线
过椭圆
的左顶点，求此时
，
的值；②试猜测
，
的关系，并给出你的证明.

参考答案

一．选择题

1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. B 9. D 10. A

二．填空题

11.
且
} 12. ④ 13.
14.
15. ②③④

三. 解答题

16. 解：（1）由题可知，
，所以
，解得
.

又由已知可得
，……………2分

因为
，
，……………5分

所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ……………6分

（2）从被检测的
辆甲品牌轻型汽车中任取
辆，共有
种二氧化碳排放量结果：

，…………10分

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过
”为事件
,

则
，

所以至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率是
. ………12分

17. 解：（1）
，……3分

令
，解得
，

所以
的单调递减区间为
. ………6分

（2）∵
，∴
，

又
，∴
，即
，…………8分

∵
，由余弦定理得
. ……①

因为向量
与
共线，所以
，

由正弦定理得
，……②………11分

解①②得
，
. …………12分

18. （1）证明：因为
平面
，所以
. ……………2分

因为
是正方形，所以
，又
,

从而
平面
. ……………5分

（2）解：延长
交于点
,

因为
，
，

所以
,…………7分

因为
，所以
,

所以
，所以
,……10分

又
平面
，
平面
，

所以
平面
. …………12分

19. 解：（1）由
，及
，作差得
，

即数列
成等比数列，
，

当
时，
，解得
，故
. …5分

（2）当
时，
，
，

,………8分

,

,

作差得
，

所以
. ………12分

20. 解:（1）由已知
，
，
，
，
，