高三自主练习

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．参考公式：球的表面积
.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数
（
为虚数单位）在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列命题的否定为假命题的是

A．
B．任意一个四边形的四个顶点共圆

C．所有能被
整除的整数都是奇数 D．

4．函数
的零点所在区间为

A．
B．
C．
D．

5．点
在圆
上，则直线
与圆
的位置关系是

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定

6．执行右面的程序框图，若输出结果为
，则可输入的

实数
值的个数为

A．
B．
C．
D．

7．若变量
满足约束条件
，则
的

最大值等于

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
的图象与

直线
的两个相邻公共点之间的距离等于
，则

的单调递减区间是

A．

B．

C．

D．

9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是
的圆，则这个几何体的表面积是

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
满足
，且当
时，总有
恒成立，则
与
的大小关系为

A.
B.

C.
D．不确定

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知抛物线
的准线方程为
，则实数
.

12．在样本频率分布直方图中，样本容量为
，共有
个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他
个小长方形面积和的
，且则中间一组的频数为 .

13．已知实数
均大于零，且
，则
的最大值为 .

14．已知向量
满足
，则向量
与
夹角的余弦值为 .

15．如图：正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点，其余

四个顶点都在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

某车间要加工某种零件，现将
名技工平均分为甲、乙两组，分别标记为
号，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：


号技工


号技工


号技工


号技工


号技工



甲组













乙组













（Ⅰ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此比较两组技工的技术水平；

（Ⅱ）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取
名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过
件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．

17．（本小题满分12分）

在
中，内角
的对边分别为
且
，已知
，
，
.

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）求
的值．

18．（本小题满分12分）

如图，平面
平面
，其中
为矩形，
为梯形，
，
，
，
为
中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
．

19．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，
，
，
．

(Ⅰ) 求证:数列
是等比数列；

(Ⅱ) 设数列
的前
项和为
，
，点
在直线
上，若不等式
对于
恒成立，求实数
的最大值．

20．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的极大值；

（Ⅱ）设定义在
上的函数
的最大值为
，最小值为
，且
，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知椭圆

的右焦点为
，且点
在椭圆
上，
为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设过定点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
，且
为锐角，求直线
的斜率
的取值范围；

（Ⅲ）过椭圆

上异于其顶点的任一点
，作圆

的两条切线，切点分别为
(
不在坐标轴上)，若直线
在
轴、
轴上的截距分别为
、
，证明：
为定值．

高三自主练习

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

C A D C B C C A B A

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13.
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，,写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)依题意，
，
……2分

……………………4分

因为
，
，

所以两组技工的总体水平相同，甲组技工的技术水平差异比乙组大，乙组更稳定.

………………………………6分

(Ⅱ)记该车间“质量合格”为事件
，则从甲、乙两组中各抽取
名技工完成合格零件个数的基本事件为：
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，

共25种 ……………………………9分

事件
包含的基本事件为：
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
共
种

所以 “质量合格”的概率为
…………………………12分

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为
，
,由余弦定理得：

所以
①………………2分

由
可得

， …………………………3分

化简得
.

因为
， ………………………4分

所以
.

由正弦定理可知
.② ……………………………………………6分

由①②结合
，解得
.……………………………………………7分

（Ⅱ）因为
所以

所以
………………8分

由正弦定理知
，所以

， …………………………9分

因为
，所以

所以
,……………………………10分

所以

…………………………………………11分

. ………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）取
的中点
，连接

因为
分别是
,
的中点，

所以


，………………………2分

又因为
，

所以


，四边形
为平行四边形

所以

………………………………4分

因为
平面
，
平面

所以
平面
………………………………………………………5分

（Ⅱ）取
的中点
，连接
、

因为
分别是
,
的中点，

所以