高三数学（文）试题

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知复数
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、设集合
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

3、给定函数①
②
③
④
，其中在区间
上单调递减的函数序号是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

4、在
中，若
，则
的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为
，

众数
，平均数为
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

6、已知平面
，直线
，且有
，给出下列命题：

①若
，则
；②若
，则
；③若
，则
；④若
，则
，其中正确命题个数有（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7、若函数
的图象如图所示，则
的范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、设双曲线
的离心率为2，且一个焦点与抛物线
的交点相同，则此双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知函数
，若函数
在R上有两个零点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、若函数
，并且
，则下列各结论正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.

11、圆心在直线
上的圆与y轴交于两点
，则该圆的标准方程为

12、已知
满足不等式组
，则
的最大值

与最小值的比为

13、定义在实数集R上的函数
满足
，

且

现有以下三种叙述①8是函数
的一个周期；

②
的图象关于直线
对称；③
是偶函数。

其中正确的序号是

14、执行如图中的程序框图，如果输入的
，则输出的
所在区间是

15、在实数集R中，我们定义的大小关系“
”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量
上也可以定义一个称“序”的关系，记为“
”，定义如下：对于任意两个向量
，“
”当且仅当“
”或“
且
”，按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：

①若
，则

②若
，则
；

③对于
，则对于任意
；

④对于任意向量
，若
，则

其中真命题的序号为

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）

已知函数
，且当
时，
的最小值为2，

（1）求
的值，并求
的单调递增区间；

（2）先将函数
的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
，再Ian个所得的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，求方程
在区间
上所有根之和。

17、（本小题满分12分）

如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且

（1）证明：平面ABEF
平面BCDE；

（2）求三棱锥
的体积

18、（本小题满分12分）

某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83.

（1）求
和
的值；

（2）计算甲组7位学生成绩的方差
；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率。

19、（本小题满分12分）

数列
的前n项和为
，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足：
，求数列
的通项公式；

（3）令
，求数列
的 n项和
。

20、（本小题满分13分）

设函数

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）令
，其图象上任意一点
处切线的斜率
恒成立，求实数
的取值范围。

（3）当
时，方程
在区间
内有唯一实数解，求实数
的取值范围。

21、（本小题满分14分）

椭圆
过点
，离心率为
，左右焦点分别为
，过点
的直线交椭圆于
两点。

（1）求椭圆
的方程；

（2）当
的面积为
时，求
的方程。

高三数学（文）试题参考答案

一、选择题

B D B A D B D C D D

二、填空题

11.（x－2)2＋(y＋3)2＝5 12. 2∶1 13. ①②③ 14.
15. ①②③

三、解答题：

16. 解：（1）函数
，…2分

，
，得
；…4分

即
，由题意得
，

得
，

所以函数
的单调递增区间为
．…6分

（2）由题意得
，又由
得
，…9分

解得
， 即
，

，故所有根之和为
．……12分

17. （1）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，

易知
，且
，

在多面体中，由
，知
，

故
………………………………2分

又

平面BCDE，

故
平面BCDE，……………………….5分

又
平面ABEF，所以平面ABEF
平面BCDE；…6分

（2）连接AE、CE,则AG为三棱锥
的高，GC为

的高．在正六边形ABCDEF中，
，

故
，…………..9分

所以
．……12分

18. 解（1）∵甲组学生的平均分是85，

∴
. ∴x=5. ………………………………1分

∵乙组学生成绩的中位数是83， ∴y=3. …………………………………… 2分

（2）甲组7位学生成绩的方差为：

……………………………………5分

（3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，

乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E. ……………………6分

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)……………………9分

其中甲组至少有一名学生共有7种情况：

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E) ……………………………………11分

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件M，

则
.…………………………………………………………………………12分

19. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，

a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n…………3分

（2）
，①
②

②－①得，
，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，

又当n=1时，b1=8，

所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分

（3）
＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，…………………8分

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，

令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，

－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝
－n×3n＋1　　　

∴
， ……………………………………….10分

∴数列{cn}的前n项和．
. ……12分

20. 解：（1）依题意，知
的定义域为
，

当
时，
，

………………………………………….2分

令
，解得
或
（舍去），

当
时，
；当
时，
，

所以
的单调增区间为
，减区间为
；…………….4分

（2）由题意知
，则有
在(0,3)上恒成立，所以
，当x0=1时，
取得最大值
，

所以
；………………………………………………………………………………8分

（3）当
时，
，

由
，得
，又
，所以
，

要使方程
在区间
上有唯一实数解，

只需
有唯一实数解，……………………………………………10分

令
，∴
，由
得
；
，得
，

∴
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数.

，故
. ……………………13分

21. 解：（1）