高三数学（理）试题

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知复数
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、设集合
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

3、给定函数①
②
③
④
，其中在区间
上单调递减的函数序号是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

4、在
中，若
，则
的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为
，

众数
，平均数为
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

6、某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）

A．192种 B．216种 C．240种 D．288种

7、若函数
的图象如图所示，则
的范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、设双曲线
的离心率为2，且一个焦点与抛物线
的交点相同，则此双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知函数
，若函数
在R上有两个零点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、若函数
，并且
，则下列各结论正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.

11、如图，正方体
的棱长为1，E为棱
上的点，

为AB的中点，则三棱锥
的体积为

12、已知
满足不等式组
，则
的最大值

与最小值的比为

13、定义在实数集R上的函数
满足
，

且

现有以下三种叙述①8是函数
的一个周期；

②
的图象关于直线
对称；③
是偶函数。

其中正确的序号是

14、执行如图中的程序框图，如果输入的
，则输出的
所在区间是

15、在实数集R中，我们定义的大小关系“
”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量
上也可以定义一个称“序”的关系，记为“
”，定义如下：对于任意两个向量
，“
”当且仅当“
”或“
且
”，按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：

①若
，则

②若
，则
；

③对于
，则对于任意
；

④对于任意向量
，若
，则

其中真命题的序号为

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）

已知函数
，且当
时，
的最小值为2，

（1）求
的值，并求
的单调递增区间；

（2）先将函数
的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
，再Ian个所得的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，求方程
在区间
上所有根之和。

17、（本小题满分12分）

如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且

（1）证明：平面ABEF
平面BCDE；

（2）求平面ABC与平面DEF所成的二面角（锐角）的余弦值。

18、（本小题满分12分）

已知一个袋子里装有只有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球。

（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；

（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望。

19、（本小题满分12分）

数列
的前n项和为
，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足：
，求数列
的通项公式；

（3）令
，求数列
的 n项和
。

20、（本小题满分13分）

已知函数
（其中
是自然对数的底数），
为
导函数。

（1）当
时，其曲线
在点
处的切线方程；

（2）若
时，
都有解，求
的取值范围；

（3）若
，试证明：对任意
恒成立。

21、（本小题满分14分）

已知焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，
分别为左右焦点，过点
作直线交椭圆
于
（
在
两点之间）两点，且
，
关于原点
的对称点为
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）求直线
的方程；

（3）过
任作一直线交过
三点的圆于
两点，求
面积的取值范围。

高三数学（理）试题参考答案

一、选择题

B D B A D B D C D D

二、填空题

11.
12. 2∶1 13. ①②③ 14.
15. ①②③

三、解答题：

16. 解：（1）函数
，…2分

，
，得
；…4分

即
，由题意得
，

得
，

所以函数
的单调递增区间为
．…6分

（2）由题意得
，又由
得
，…9分

解得
， 即
，

，故所有根之和为
．……12分

17.（１）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点

为G，易知
，且
，

在多面体中，由
，知
，

故
…………………………………………2分

又

平面
，故
平面
，………………..5分

又
平面ABEF，所以平面ABEF
平面BCDE．…………6分

（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系．

由
，
，
，

则

.

，
，
，
．..8分

设平面ABC的法向量为
，

则
，即
，令

，得
，

同理，可得平面DEF的一个法向量为
，………………….10分

所以
，

所以平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值为
．……….12分

18. 解：（1）记事件
表示“第i次取到白球”（
），事件
表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：

. ……2分

， ……………………………………4分

　，……………………………………………………5分

另解：记随机变量
表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知
……2分

则
，..5分

（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 ……6分

，

，
， ……10分

∴随机变量X的分布列为：

X

2

3

4

5



P











……………………………………………………11分

∴随机变量X的期望为：
. …………12分

19. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，

a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n…………3分

（2）
，①
②

②－①得，
，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，

又当n=1时，b1=8，

所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分

（3）
＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，…………………8分

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，

令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，

－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝
－n×3n＋1　　　

∴
， ……………………………………….10分

∴数列{cn}的前n项和．
. ……12分

20. 解:（1）由
得
,
,..1分

所以曲线y=
在点(1,
)处的切线斜率为
,

,
曲线y=
切线方程为
；

即
. …………………………………………………………4分

（2）由
得
，令
,

,

,

所以
在(0,1]上单调递减,又当x趋向于0时，
趋向于正无穷大，故

即