忻州市第一中学2015届高三上学期期末考试

数学（文）试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知集合
，则M∩N =( )

A．{(-1,1),(1,1)} B．{1} C．[0,1] D．[0,]

2．复数2+ i的实部与复数1(2i的虚部的和为 （ ）

A．0 B．2(2i C．3(i D. 1+3i

3．右面程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n>20时n的最小值，则输出框中应填 （ ）

A．i

B．i+1

C．i-1

D．n

x

0

1

2

3



y

m

3

5.5

7



4．已知x与y之间的一组数据：

已求得关于y与x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，则m的值为 （ ）

A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5

5．已知对于正项数列
满足
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为 （ ）

A． B． C．0 D．(

7．设
，若
，则
的最小值为 （ ）

A．
B．6 C．
D．

8．函数f(x)＝的图像大致为 （ ）

9．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为
，++=且，则向量在方向上的投影为 （ ）

A． B．3 C．( D．(3

10．已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：(x-)2+(y+)2=1的切线，则此切线长等于 （ ）

A．1 B． C． D．2

11．已知
、
是双曲线
的上、下焦点，点
关于渐近线的对称点恰好落在以
为圆心，
为半径的圆上，则双曲线的离心率为 ( )

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若函数
有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知x，y满足条件
，则目标函数
的最大值为________.

14．已知tanα=，tanβ= (，且0＜α＜，＜β＜π，则2α(β的值________.

15．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.

16．已知函数f(x)＝x3＋sinx，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________.

三、解答题（共70分）

17．（本小题满分12分）已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角
、
、
所对的边分别是
、
、
．

（1）若
、
、
依次成等差数列，且公差为2．求
的值；

（2）若
，
，试用
表示
的周长，

并求周长的最大值．

18．（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

篮球

排球

总计



男同学

16

6

22



女同学

8

12

20



总计

24

18

42



（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？

（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．

①求从“排球小组”中抽取几人？

②已知甲、乙两人都是从“排球小组”中抽取出来的．从抽取出的7人中任意再选2人参加校排球队，求甲、乙两人至少有一人参加校排球队的概率是多少？

下面临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：

19．（本小题满分12分）

如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6,BF=CF=DE=2,EF=4,EF //AB, ,G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2．

（I）证明：AF//面BDG；

（II）证明：面BGM⊥面BFC；

（III）求三棱锥F(BMC的体积V．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F（1，0），

且点（(1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得·= ( 恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）证明：
.

22．选修4(1：几何证明选讲（本小题满分10分)

如图AB是⊙O的弦， C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点．

（I）求证：DE2=DB(DA；

（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．

23．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分)

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，0≤α<π），射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ-((<φ<)与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C.

(I)求证：
；

(II)当
时，B, C两点在曲线C2上，求m与α的值.

24．选修
：不等式选讲（本小题满分10分）

设

（I）当
，求a的取值范围；

（II）若对任意x∈R，
恒成立，求实数a的最小值．

忻州一中2014(2015学年度第一学期期末考试

高三　数学试题（文科）

命题人：李德亭　　侯毅

一、选择题

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．18 14. ( 15．6( 16．

三、解答题（共70分）

恒等变形得
，解得
或
.又∵
，

. ……（6分）

（2）在
中，
，

，

，

. ……（8分）

的周长

， ……（10分）

又∵
，

,

当
即
时，
取得最大值
． ……（12分）

18.【解析】

（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值

k

≈4.582>3.841. ……3分

所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．…6分

（Ⅱ）①从“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学． ……8分

②由题知从7人中任意选出2人的方法数为21种，甲、乙两人至少有一人参加校排球队有11种方法．所以甲、乙两人至少有一人参加校排球队的概率是 ……12分

，
为矩形, ………………7分

，又
，
为平行四边形, ………………8分

，
为正三角形
，

面
,

面
,
面

面
． …………………………10分

（Ⅲ）
,

因为
，
,所以
,

所以
． …………………………12分

20. 【解析】（1）由题意，c=1

∵点（(1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=
，∴a=

∴b2=a2(c2=1，

∴椭圆C的标准方程为+y2=1; ……4分

（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得?=(恒成立

当直线l的斜率为0时，A(，0)，B ((，0)，则

（(m，0）?（((m，0）= (，∴m2=，∴m=± ① …6分

当直线l的斜率不存在时，A(1,)，B(1,()

则（1(m，）?（1(m，(）= (，∴(1(m)2= ∴m=或m= ②

由①②可得m=． ……8分

下面证明m=时，?= (成立

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2= (，y1y2= (

∴，?=(x1(，y1)? (x2(，y2) =(ty1()(ty2()+y1y2=(t2+1)y1y2(t(y1+y2）+

= +=﹣

综上，x轴上存在点Q（，0），使得·= ( 恒成立. ……12分

（2）原不等式就是

即
，

令
则

在
上单调递增。当
时，
当
时

，所以当
且
时，

分

22．解：（I）连结OF，∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC，

∵DF是⊙O的切线，
垂直于弦AB，

∴(AEC+(OCF＝(OFC+(DFE．
……4分

∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，
……6分

（II）设AE=x，则DE=2x，DF=2x，

解得2x=3，∴DF的长为3． …10分

23解：（1）依题意，

2分

则

5分

（2）当
时，
两点的极坐标分别为

化为直角坐标为

7分

是经过点
倾斜角为
的直线，

又经过
的直线方程为

9分

所以

10分

解不等式