2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

C

A

A

C

B

B





二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9.
；10.
；11.
；12.
；13.
；14.
；15.
.

说明: 第
题答案可以是
Z .

16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：由题意可得

， ∴

由
得
， ∴
. ………………6分

（2）解： ∵ 点
是函数
在
轴右侧的第一个最高点,

∴
. ∴
.

∴


………10分

.……………12分

17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有

N
个白球，依题意得，
，……1分

即
， 化简得，
， 解得，
或
（舍去）.

∴袋子中有
个白球. …………………………4分

（2）解：由（1）得，袋子中有
个红球，
个白球. …………………………5分

的可能取值为
， …………………………6分

，
，

，
. ………………10分

∴
的分布列为：

























…………………………11分

∴
. …………………………12分

18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明：∵点
，
分别是边
，
的中点，∴
∥
.…………1分

∵菱形
的对角线互相垂直，∴
.

∴
. ∴
，
. …………2分

∵
平面
，
平面
，
，∴
平面
. …3分

∴
平面
. …………………………4分

（2）解法1：设
，连接
，∵
，

∴△
为等边三角形.

∴
，
，
，
. ……5分

在R t△
中，
，

在△
中，
，∴
. …6分

∵
，
，
平面
，
平面
，

∴
平面
. …………………………7分

过
作
，垂足为
，连接
，由（1）知
平面
，且
平面
，

∴
.∵
，
平面
，
平面
，

∴
平面
. ∵
平面
，

∴

. …………………9分

∴
为二面角
的平面角. …………………………10分

在Rt△
中，
，

在Rt△
和Rt△
中，
，

∴Rt△
～Rt△
. ………11分 ∴
.

∴
. …………………………12分

在Rt△
中，
. ……………………13分

∴二面角
的正切值为
. …………………………14分

解法2：设
，连接
，

∵
，∴△
为等边三角形.

∴
，
，
，
.………………………5分

在R t△
中，
，在△
中，
，

∴
. …………………………6分

∵
，
，
平面
，
平面
，

∴
平面
. …………………………7分

以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，

建立空间直角坐标系
，

则
，
，
，
.…………8分

∴
，
.

设平面
的法向量为

，

由

，

，得
……9分

令
，得
，
.

∴平面
的一个法向量为

. …………………………10分

由（1）知平面
的一个法向量为
， ……………………11分

设二面角
的平面角为
，

则



.………………………12分

∴
，
.………………………13分

∴二面角
的正切值为
. …………………………14分

19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前
项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）

（1）解：∵
，∴
.……1分

（2）解法1：由
，得
， …………………………2分

故
. …………………………3分

∵
，∴
.

∴
. …………………………4分

∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列.

∴
. …………………………5分

∴
. …………………………6分

当
时，
， …………………………8分

又
适合上式，

∴
. …………………………9分

解法2：由
，得
， …………………………2分

当
时，
，　∴
. …４分

∴
. ∴
.…５分

∵
，∴
. ……………６分

∴数列
从第2项开始是以
为首项，公差为
的等差数列．……………７分

∴
．　　　　　　　　…………………………８分

∵
适合上式，∴
. ………………9分

解法3：由已知及（1）得
，
，猜想
.…………2分

下面用数学归纳法证明.

① 当
，
时，由已知
，

，猜想成立. ………3分

② 假设

时，猜想成立，即
， …………………………4分

由已知
，得
， 故
.

∴
. …………………………5分

∴
.∴
.……6分

∵
， ∴
. ……………7分

∴
. …………………………8分

故当
时，猜想也成立.

由①②知，猜想成立，即
. …………………………9分

（3）解：由(2)知
,
.

假设存在正整数
, 使
,
,
成等比数列,

则
. …………………………10分

即
. …………………………11分

∵
为正整数，∴
.∴