忻州市第一中学2015届高三上学期期末考试

数学（理）试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知集合M={y(R∣y=x2}，N={x(R∣x2+ y2=2}，则M∩N = ( )

A．{(-1,1),(1,1)} B．{1} C．[0,1] D．[0,]

2．复数2+ i的实部与复数1-2i的虚部的和为 （ ）

A．0 B．2-2i C．3-i D．1+3i

3．右面程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n>20时n的最小值，则输出框中应填 （ ）

A．i

B．i+1

C．i -1

D．n

x

0

1

2

3



y

m

3

5.5

7



4．已知x与y之间的一组数据：

已求得关于y与x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，则m的值为 （ ）

A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5

5．已知对于正项数列{an}满足am+n=aman(m,n(N*)，若a2=9，则log3a1+log3a2+……+

log3a12 = （ ）

A．40 B．66 C．78 D．156

6．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为 （　　）

A． B． C．0 D．(

7．设a>0，b>1，若a+b=2，则+的最小值为 （ ）

A．3+2 B．6 C. 4 D. 2

8．函数f(x)＝的图象大致为 （ ）

9．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为
，++=，则向量 在方向上的投影为 （ ）

A． B．3 C． ( D． (3

10．已知点P(x，y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：(x-)2+(y+)2=1的切线，则此切线长等于 （　　）

A．1 B.  C.  D．2

11．已知
、
是双曲线
的上、下焦点，点
关于渐近线的对称点恰好落在以
为圆心，
为半径的圆上，则双曲线的离心率为 ( )

A．3 B.  C．2 D. 

12．已知函数f(x)=，若函数y=f(x)+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 （ ）

A. (-∞,-1] B. (-∞,-1) C. (-1,+∞) D. [-1,+∞)

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．( +
)12展开式中有理项共有　 　 项．

14．已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值　 　．

15．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.

16．已知函数f(x)＝x3＋sinx，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．

三、解答题（共70分）

17．（本小题满分12分）已知A,B分别在射线CM,CN（不含端点C）上运动，∠MCN=

π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．

（1）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；

（2）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，

并求周长的最大值．

18．（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

篮球

排球

总计



男同学

16

6

22



女同学

8

12

20



总计

24

18

42



（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？

（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．

①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；

②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．

下面临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：

19．（本小题满分12分）如图，三棱柱
的侧棱
底面
，
，
是棱
上动点，
是
中点，
，
，
。

（1）若
是棱
中点时，求证：
∥平面
；

（2）若二面角
的余弦值是
，求
的长.

20. （本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F（1，0），且

点（﹣1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得·= ( 恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）证明：
.

22．选修4(1：几何证明选讲（本小题满分10分)

如图AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点．

（I）求证：DE2=DB(DA；

（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．

23．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分)

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，0≤α<π），射线θ=φ,θ=φ+,,θ=φ-((<φ<)与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C.

(I)求证：∣OB∣+∣OC∣=∣OA∣；

(II)当φ=  时，B, C两点在曲线C2上，求m与α的值.

24．选修
：不等式选讲（本小题满分10分）

设f(x)=∣x-a∣,a∈R

（I）当-1≤x≤3时，f(x) ≤3,求a的取值范围；

（II）若对任意x∈R，f(x-a)+f(x+a)≥1-2a恒成立，求实数a的最小值．

忻州一中2014(2015学年度第一学期期末考试

高三　数学试题（理科）

命题人：李德亭　　侯毅

二、填空题（每小题5分，共20分）

三、解答题（共70分）

17解：（1）∵
、
、
成等差，且公差为2，

、
. 又∵
，∴
，

，

， ……（4分）

恒等变形得
，解得
或
.又∵
，

. ……（6分）

（2）在
中，
，

，

，

. ……（8分）

的周长

， ……（10分）

又∵
，

,

当
即
时，
取得最大值
． ……（12分）

18. 【 解析】

（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值

k

≈4.582>3.841. ……2分

所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分

（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．

方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则

P(A∩B)

，P(A)

.

所以P(B|A)




. ……7分

方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，

则P(C)



.

②由题知X的可能值为0，1，2.

依题意P(X
0)


；P(X
1)


；P(X
2)


.

从而X的分布列为

X

0

1

2



P









 ……10分

于是E(X)
0×＋1×＋2×
=. ……12分

（2）解：以
为坐标原点，射线
为
轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
. 则

7分 设
平面
的法向量

则
， 得

8分

平面

是平面
的法向量，则平面
的法向量

10分

的平面角的余弦值为
，

则

解得

12分

20. 【 解析】（1）由题意， c=1

∵点（﹣1，
）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=
，∴a=

∴b2=a2﹣c2=1，

∴椭圆C的标准方程为
；

（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得
恒成立

当直线l的斜率为0时，A（
，0），B（﹣
，0），则

=﹣
，∴
，∴m=
①

当直线l的斜率不存在时，
，
，则
?
=﹣
，∴

∴m=
或m=
②

由①②可得m=
．

下面证明m=
时，
恒成立

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣
，y1y2=﹣

∴
=（x1﹣
，y1）?（x2﹣
，y2）=（ty1﹣
）（ty2﹣
）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣
t（y1+y2）+
=
+
=﹣

综上，x轴上存在点Q（
，0），使得·= ( 恒成立.

21.解：（1）
，设
则
，且
上单调递增。

当
时，
从而
单调递减；

当
从而
单调递增。

因此，
上单调递减，在
上单调递增。
6分

（2）原不等式就是

即
，

令
则

在
上单调递增。当
时，
当
时

，所以当
且
时，

分

∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，