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2015年高考桂林市、防城港市联合调研考试

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知复数
是关于
的方程

的解，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 函数
的最小正周期是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 已知
，
，
分别为
的三个内角
、
、
的对边，若
，
，
，则角
等于（ ）

A．
或
B．
C．
D．

6. 一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积等于（ ）

A．4 B．6

C．8 D．12

若双曲线

与直线
无交点，

则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 设
，
满足约束条件
则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 将6名教师4名学生平均分成2个小组（每个小组的学生数相同），分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的安排方案的众数为（ ）

A．40 B．60 C．120 D．240

已知实数
，若执行如右图所示的程序框图，

则输出的
不小于55的概率为（ ）

A．
B．

C．
D．

体积为
的三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，

已知
是边长为1的正三角形，
为球
的直径，则

球
的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 已知
，
，
为自然对数的底数，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题
第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题
第24题为选考题，请考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知非零向量
，
的夹角为
，且
=2，则

14.
展开式中的常数项是__________

15．等差数列
的前
项和为
，且
，
是方程
的两个根，则
的最大值为 .

16. 设
，
分别是椭圆

的左、右焦点，与直线
相切的
交椭圆于点
，且
是直线
与
的切点，则椭圆的离心率为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在等差数列
中，已知
，且
成等比数列.

（1）求
；

（2）设

，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

为了解某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况（体重都

以整数计），将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）

已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组

的频数为12.

求该校报考飞行员的总人数；

以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省

报考飞行员的同学中（人数很多）任选3人，设
表示体重超过60

公斤的学生人数，求
的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
是棱
的中点，
.

（1）证明：
；

（2）求二面角
的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线

的焦点为
，直线
与
交于
、
两点，
与
轴交于点
，且
.

（1）求抛物线
的方程；

（2）当
时，设
在点
处的切线与直线
、
轴依次交于
、
两点，以
为直径作圆
，过
作圆
的切线，切点为
，试探究：当点
在
上移动（
与原点不重合）时，线段
的长度是否为定值？

21.（本小题满分12分）

设函数

（1）当
时，讨论
的单调性；

（2）当
，
为奇数时，设
，数列
的前
项和为
，试比较
，
，
的大小.

请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

（本小题满分10分）选修4
1：几何证明选讲

如图，
分别为
边
，
的中点，直线
交
的外接圆
，若
.

（1）
；

（2）
.

（本小题满分10分）选修4
4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程是
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线
的极坐标方程是
，正方形
的顶点都在
上，且
依次逆时针次序排列，点
的极坐标为
.

（1）写出
四点的直角坐标；

设
为
上的任意一点，求
的取值范围.

（本小题满分10分）选修4
5：不等式选讲

已知函数
.

（1）当
时，求不等式
的解集；

若
的解集
满足
，求
的取值范围.

参考答案

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