2014-2015学年下学期高三期初调研测试

数学试题（数学Ⅰ）

(考试时间：120分钟 总分160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应
位置上．

1．设集合
则
__________．

2．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是______________

3．计算复数
＝___________（
为虚数单位）．

4. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是_____________．

5．若
，则
的最小值____________

6．已知直线
平面
，直线
平面
，给出下列命题：

①若
，则
；　　 ②若
，则
；

③若
，则
； 　　④若
，则
.

其中正确命题的序号是___________

7．已知
满足约束条件
,则
的最大值为___________

8．程序框图如图(右)所示,其输出结果是___________

9．已知条件p：
，条件q：
，若p是q的充分不必要条件，则实数
的取值范围是___________

10．若正四棱锥的底面边长为
，体积为
，则它的侧面积为___________
.

11．已知抛物线
的焦点恰好是双曲线
的右焦点，则双曲线的渐近线方程为________________

12．已知函数
的图像的对称中心为
，函数
的图像的对称中心为
，函数
的图像的对称中心为
，……，由此推测函数
的图像的对称中心为________________

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是_______________

14．已知
是锐角
的外接圆圆心，
，
，则
__________________

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本题满分14分）

如图，斜三棱柱
中，侧面
是菱形，
与
交于点
，E是AB的中点．

（I）求证：
平面
；

（II）若
，求证：
．

16．(本小题满分14分)

已知函数
的最小正周期为
.

（I）求
.

（II）在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数
在区间
上的图象,并根据图象写出其在
上的单调递减区间.

17. (本小题满分14分)

光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。强度分别为a,b的两个光源A，B间的距离为d，在连结两光源的线段AB（不含端点）上有一点P，设PA=
，P点处的“总照度”等于各照度之和。

（I）若a=8，b=1，d=3，求点P的“总照度”
的函数表达式;

（II）在
（1）问中，点P在何处总照度最小？

18．(本小题满分16分)

已知椭圆
的左顶点为
，点
，
为坐标原点．

（I）若
是椭圆
上任意一点，
，求
的值；

（II）设
是椭圆
上任意一点，
，求
的取值范围；

（Ⅲ）设
是椭圆
上的两个动点，满足
，试探究
的面积是否为定值，说明理由．

19．(本小题满分16分)

设数列
的首项
为常数，且
．

（I）若
，证明：
是等比数列；

（II）若
，
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．

（Ⅲ）若
是递增数列，求
的取值范围．

20．(本小题满分16分)

已知函数
.

（I）求函数
在区间
上的最值；

（II）若
(其中m为常数)，且当
时，设函数
的3个极值点为a,b,c,且a

高三数学试题(数学Ⅱ理科附加)

(考试时间：30分钟 总分40分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

21．【选做题】请考生在A,B,C,D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。）

A.（本小题10分，几何证明选讲）

如图，直线
经过⊙
上的点
，并且
⊙
交直线
于
，
，连接
．

（Ⅰ）求证：直线
是⊙
的切线；

（Ⅱ）若
⊙
的半径为
，求
的长．

B.（本小题10分，矩阵与变换）

已知矩阵
有特征值
及对应的一个特征向量
.

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）写出矩阵
的逆矩阵.

C.（本小题10分，坐标系与参数方程选讲）

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线
的极坐标方程为
.已知点
在椭圆
：
上，求点
到直线
的距离的最大值.

D.（本小题10分，不等式选讲）

设a、b、c均为正实数，求证：
+
+
≥
+
+
．

22．(本小题10分)

如图，已知直线
与抛物线
相交于
两点，

与
轴相交于点
，若
.

（Ⅰ）求证：
点的坐标为（1，0）；

（Ⅱ）求△AOB的面积的最小值.

23. （本小题10分）

已知
为等差数列，且
，公
差
.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）根据下面几个等式：
；
；

；
……

试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.

2014～2015学年度第二学期期初
调研测试

高三数学试题参考答案及评分细则：

1、
2、150人 3、
4、
5、7 6、①③ 7、2 8、283 9、
10、
11、
12、
13、2 14、

15．证明：（Ⅰ） 连结
．

∵侧面
是菱形，
与
交于点
∴
为
的中点

∵E是AB的中点 ∴
； ………………3分

∵
平面
，
平面
∴
平面

………………7分

（Ⅱ）∵侧面
是菱形 ∴

∵
，
，
平面
，
平面

∴
平面
………………12分

∵
平面
∴
． ………………14分

16.(Ⅰ)由题意：
…………2分

…………4分

(Ⅱ)因为
所以
…………6分















































…………8分

图像如图所示：

…………12分

由图像可知
在区间
上的单调递减区间为
。

…………14分

17、（Ⅰ）
…………4分

……………………6分

（Ⅱ）
……………………8分

令I’（x）=0,解得：x=2……………………10分

列表：

x



2





I’(x)

-

0

+



I（x）

减

极小值

增



……………………12分

因此，当x=2时，总照度最小。……………………14分

18、解：（Ⅰ）
，得
…………2分

，即
………………4分

（Ⅱ）设
，则

………………6分

∴ 当
时，
最大值为
；

当
时，
最小值为
；

即
的取值范围为
………………10分

（Ⅲ）（解法一）由条件得，
，

平方得
,

即
………………12分

=

故
的面积为定值
………………16分

（解法二）①当直线
的斜率不存在时，易得
的面积为
………………12分

②当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为

由
，可得
，

………………14分

又
，可得

因为
，

点
到直线
的距离

综上：
的面积为定值1………………16分

19、证明：（Ⅰ）因为
，所以数列
是等比数列；……4分

（Ⅱ）
是公比为－2，首项为
的等比数列．

通项公式为
， …………………6分

若
中存在连续三项成等差数列，则必有

，

即

解得
，即
成等差数列． ………………………………………8分

（Ⅲ）如果
成立，即
对任意自然数均成立．

化简得
………………10分

当
为偶数时
,

因为
是递减数列，所以
，即
；…12分

当
为奇数时，
,因为
是递增数列，

所以
，即
；………………………………………14分

故
的取值范围为
． …………………………………………………16分

20、（Ⅰ）
……………………………………………2分

令
解得
，列表：





















减

极小值

增



…………………………………………………………………4分

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增。

，所以函数
的最大值为
，最小值为
。…………………………………………………8分

（Ⅱ）由题意：