江西省六校2015届高三3月联考数学（文）试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1、若集合P＝{－2, 0, 2}，i是虚数单位，则

A．2i∈P B．
∈P C．(
i)2∈P D．
∈P

2、点A(sin2015°, cos2015°)位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、已知函数f(x)＝ln(
－4x)＋1，则f(lg3)＋f(lg
)＝

A．2 B．1 C．0 D．
－1

4、设α,β是空间两个平面，m, n是空间两条直线，则下列选项不正确的是

A．当m(α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件

B．当m(α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件

D．当m(α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

5、已知椭圆
上有一点P，
F1, F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有

A．8个 B．6个 C．4个 D．2个

6、现有四个函数：①y＝xsinx, ②y＝xcosx, ③y＝x |cosx|, ④y＝x·2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图像对应的函数序号排列正确的一组是

A．①②③④ B．②①③④ C．③①④② D．①④②③

7、在区间[－2π, 2π]内随机取两个数分别记为a, b, 则使得函数

f(x)＝4x2＋4ax－b2＋π有零点的概率为

A．
B．
C．
D．

8、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为

A．
B．
π

C．2π D．

9、设双曲线
的右焦点为F(c, 0), 方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1, x2，则点P(x1, x2)

A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2外

C．必在圆x2＋y2＝2上 D．以上三种情况都有可能

10、定义某种运算S＝a(b，运算原理如图所示，设函数f(x)＝(x2―2)((x―x2), x∈R, 若函数

y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围为

A．(－∞, －2)∪(－1,
)

B．(－∞, －2]∪(―1, ―
)

C．(－1,
)∪(
, ＋∞)

D．(―1, ―
)∪[
, ＋∞)

11、某同学在纸上画出如下若干个三角形：

△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……

若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2015个三角形中共有▲的个数是

A．64 B．63 C．62 D．61

12、若
则z＝x＋2y的取值范围是

A．(0,
] B．[0,
] C．[0,
－
] D．[0,
＋
]

二、填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13、已知平面向量
＝(sin2x, cos2x),
＝(sin2x, －cos2x), x∈R,

f(x)＝
·
＋4cos2x＋2
sinxcosx，如果(m∈R, (x∈R, f(x)≥f(m)，

则f(m)＝ .

14、设函数f(x)＝
(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝
, f2(x)＝f(f1(x))＝
,

f3(x)＝f(f2(x))＝
, f4(x)＝f(f3(x))＝
……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*, n≥2
时，
fn(x)＝f(n－1(x))＝ 。

15、对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[－0.5]＝－1, [3, 2]＝3，若n∈N*, an＝[
], Sn为数列{an}的前n项和，则S8＝ ，S4n＝ 。

16、设点P(x, y)为函数y＝x2－2(x＞
)图像上一动点，记m＝
, 则当m取最小值时，点P的坐标为 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17、(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有

an＝4Sn＋1成立。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝log3|an|，数列{
}的前n项和为Tn, 求证：Tn＜
。

18、(本小题满分12分)某校在一次对学生在课外活动中喜欢跑步和喜欢打球的学生的抽样调查中，随机抽取了100名同学，相关数据如下表所示：

喜欢跑步

喜欢打球

总计



男生

23

32

55



女生

29

16

45



总计

52

48

100



（1）由表中数据直观分析，喜欢打球的学生是否与性别有关？

（2）用分层抽样的方法在喜欢打球的学生中随机抽取6名，男学生应该抽取几名？

（3）在上述抽取的6名学生中任取2名，求恰有1名女学生的概率。

19、(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2。

（1）求三棱锥P—ACD的外接球的表面积；

（2）若M为PB的中点，问在AD上是否存在一点E，使AM∥平面PCE？若存在，求
的值；若不存在，说明理由。

20、(本小题满分12分)设椭圆C：
过点M(
,
)，且离心率为
，直线l过点P(3, 0)，且与椭圆C交于不同的A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求
·
的取值范围。

21、(本小题满分12分)设函数f(x)＝sinx, g(x)＝ax，(a为常数)，

若f(x)≥g(x)，对x∈[0,
]恒成立。

（1）求a的最大值；

（2）对任意的锐角三角形ABC，均有sinA＋sinB＋sinC＞M恒成立，求实数M的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。

22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于点D和E.

（1）求证：
；

（2）求AD
·AE的值。

23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程为
（t为参数，m为常数），以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ2－2ρsinθ－4＝0，且直线l与圆C交于A、B两点。

（1）若|AB|＝
，求直线l的倾斜角；

（2）若点P的极坐标为(
,
)，且满足2
，求此时直线l的直角坐标方程。

24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设关于x的不等式|3x－2|＜a (a∈R)的解集为A，且
∈A, －
(A.

（1）对任意的x∈R, |x＋5|＋|x＋3|≥a2＋a恒成立，且a∈N，求a的值；

（2）若点M(a, b)在直线x＋y＝3上，求
的最小值。

江西省六校联考

高三年级数学（文科）参考答案

2015-2-8

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、0 14、
15、6，2n2－n 16、(2, 2)

13、∵f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋2
sinxcosx

＝－cos2x＋2(1
＋cos2x)＋
sin2x

＝cos2x＋
sin2x＋2＝2sin(2x＋
)＋2≥0

∴f(m)＝0

三、解答题（共70分）

18、解：（1）由表格可知，男生55名学生中有32名喜欢打球，而女生45名学生中有16名喜欢打球，所以，经过直观分析，喜欢打球的学生与性别有关。…………
……2分

（2）从题中所给的条件可以看出，喜欢打球的学生共48人，随机抽取6人，则抽样比为
。

故男生应抽取32×
＝4(人)……………………6分

（3）抽取的6名同学中，男生有6人，女生有2人
，记男生为A、B、C、D，女生为a、b，则从6名学生中任取2名的基本事件有 (A, B), (A, C), (A, D), (A, a), (A, b), (B, C), (B, D), (B, a)
, (B, b), (C, D), (C, a), (C, b), (D, a), (D, b), (a, b)共15个，其中恰有1名女生的有8个，故所有概率

P＝
………………………………12分

20、（1）由已知可得：
(
，

∴椭圆C的方程为：
……………………4分

21、（1）f(x)≥g(x)对x∈[0,
]恒成立

即sinx≥ax对x∈[0,
]恒成立

当x＝0时，sinx≥ax恒成立 ……………………1分

当x∈(0
,
]时，等价于a≤
恒成立 ………………2分

设h(x)＝
, x∈(0,
]

则h ' (x)＝

设((x)＝xcosx－sinx，则( ' (x)＝－xsinx＜0对x∈(0,

]恒成立，

∴((x)在(0,
]上单调递减，

((x)min＜((0)＝0，即xcosx－sinx＜0，

∴h ' (x)＞0在(0,
]上恒成立，

∴h(x) 在(0,
]上单调递减

∴h(x)min＝h(
)＝
…………………………7分

所以a≤
，a的最大值为
……………………8分

23、解析：（1）直线l: mx－y＋1－m＝0

圆C：x2＋(y－1)2＝5，圆心C(0, 1)，半径r＝
，

圆心C到直线l的距离d＝
，

∵|AB|＝2
(
＝2
(d＝
＝
(m＝±
，

∴直线l的斜率k＝m＝±
，倾斜角为60°或
120° …………5分

（2）∵点P(1, 1)，设A(x1, y1), B(x2, y2), 则

＝(1―x1, 1―y1),
＝(x2―1, y2―1)， 2
＝
，

∴2(1－x1)＝x2－1(x2＝3－2x1

由
得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，

∴
(
，∴A（
,
）

把点A的坐标代入圆C的方程得m2＝1 ( m＝±1

∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0 ………………10分

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