江西省重点中学盟校2015届第一次联考数学（理）试卷

景德镇一中 邱金龙 操军华 贵溪一中 何卫中 新余四中 何幼平

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)

1、已知集合
，则
（ ）

2、已知
，其中
是实数，i是虚数单位，则
=（ ）

3、函数
的图象在原点处的切线方程为（ ）

不存在

4、函数
的值域不可能是（ ）

5、实数
满足
，若
恒成立，则
的取值范围是（ ）

6、如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的
是( )

7、已知
分别是双曲线
的左、右焦点，过点
与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点
，若点
在以线段

为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )

8、已知
，其中
为常数.
的图象关于直线
对称，则
在以下区间上是单调函
数的是( )

9、一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的

表面积为（ ）

10、已知焦点在
轴上的椭圆方程为
，

随着

的增大该椭圆的形状（ ）

越接近于圆
越扁

先接近于圆后越扁
先越扁后接近于圆

11、坐标平面上的点集
满足
，将点集
中的所有点向
轴作投影，所得投影线段的长度为（ ）

1




2

12.已知函数
,
，若对任意的
,存在实数
满足

，使得
，则
的最大值为( )

第Ⅱ卷 (非选择题)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填入答题纸相应位置)

13、在
中，
，则
.

14.已知
是定义在
上周期为
的奇函数，当
时，
，则

.

15、从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行

位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是 .

16、如图所示，在
中，
与
是夹角为
的两条直径，

分别是
与直径
上的动点，若
，

则
的取值范围是________．

三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）

17、(本小题满分12分)

某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：

爱好

不爱好

合计



男

20

30

50



女

10

20

30



合计

30

50

80



（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生.设这3人中爱好羽毛球运动的人数为
，求
的分布列和期望值；

（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？

0.100

0.050

0.010





2.706

3.8
41

6.635



附：

18、(本小题满分12分)

已知数列
为等差数列，首项
，公差
.若
成等比数列，且
，

，
.

(1)求数列
的通项公式
；

(2)设
，求和
.

19、(本小题满分12分)

在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，
，
是
的中点，
与
交于点
，且
平面
.

(1)证明：
；

(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.

20、(本小题满分12分)

已知抛物线
的焦点为
，过
的直线
交抛物线
于点
，当直线
的倾斜角是
时，
的中垂线交
轴于点
.

（1）求
的值；

（2）以
为直径的圆交
轴于点
，记劣弧
的

长度为
，当直线
绕
旋转时，求
的最大值.

21、(本小题满分12分)

已知函数
,三个函数的定义域均为集合
.

（1）若
恒成立，满足条件的实数
组成的集合为
，试判断集合
与
的关系，并说明理由；

（2）记
，是否存在
，使得对任意的实数
，函数
有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数
；若不存在，说明理由.（以下数据供参考：
）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.

22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.

如图，⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
.

（1） 求
长；

（2）当
⊥
时，求证：
.

23、（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.

在平面直角坐标系
中，以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
.

（1）写出直线
与曲线
的直角坐标方程；

（2）过点M平行于直线
的直线与曲线
交于
两点，若
，求点M轨迹的直角坐标方程.

24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.

已知函数
.

(1)解不等式
；

(2)若对任意
，都有
，使得
成立，求实数
的取值范围.

江西省重点中学盟校2015届第一次联考数学（理）试卷

答 案

一、CDCAB CDBBA DB

12、分析：易知
,即
恒成立，

,
. 令
,
,

则
.

令
,
,

递增,
.

又
,