邢台市捷径高考2015届高三第二次模拟考试

数学（文科）试题

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．
+1=（　　）

　 A． 1﹣i B． 1+i C． 2﹣i D． 2+i

2．已知：p：
＜0，q：x2﹣2x﹣3＜0，则￢p是￢q的（　　）

　 A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件

3．某学生在高三的四次模拟考试中，其数学解答题第20题的得分情况如表：

考试次数x

1

2

3

4



所得分数y

2.5

3

4

4.5



显然所得分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（　　）

　 A． y=﹣0.7x+1.75 B． y=﹣0.5x+4.75 C． y=0.5x+2.5 D． y=0.7x+1.75

4．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两个数之和等于5的概率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

5．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为（　　）

　 A．
B． 500π C．
D． 4000π

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）

　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=
，则
=（　　）

　 A． 4n﹣1 B． 4n﹣1 C． 2n﹣1 D． 2n﹣1

8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　）

　 A．
B．
C．
D． 1

9．函数f（x）=ln（x+1）﹣
（x＞0）的零点所在的大致区间是（　　）

　 A．（0，1） B． （1，2） C． （2，e） D． （3，4）

10．已知△ABC为锐角三角形，则点P（sinA﹣cosB，cosC﹣sinB）必位于直角坐标系中的（　　）

　 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

11．在△ABC中，A=120°，|AB|=1，△ABC的面积为
，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．
﹣1

12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式x2?f（x）＞0的解集为（　　）

　 A．（﹣2，2） B． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）（2014?洛阳三模）已知变量x，y满足约束条件
，则z=3x+y的取值范围是　_________　．

14．（5分）（2014?洛阳三模）在数列{an}中，an=3an﹣1+2，a1=2，则通项an=　_________　．

15．（5分）（2014?洛阳三模）抛物线x2=4y的准线l与y轴交于点P，若直线l绕点P以每秒
弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t=　_________　．

16．（5分）（2014?洛阳三模）已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2
+
+
=0，|
|=|
|，E，F为边AC的三等分点，则
?
=　_________　．

三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（12分）（2014?洛阳三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsinA=
acosB．

（1）求角B的大小；

（2）求y=2sin2A+cos（
﹣2A）取最大值时角A的大小．

18．（12分）（2014?洛阳三模）某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：

x

1

2

3

4

5



频率

a

0.3

0.35

b

c



（1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值．

（2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．

19．（12分）（2014?洛阳三模）如图，四边形ABCD是正方形，点E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=
DC．将△PBE的位置，且平面PBE⊥平面BCDE．

（1）证明：平面PBE⊥平面PEF；

（2）求直线PF与平面BCDE所成的角的正切值．

20．（12分）（2014?洛阳三模）已知△ABC的内切圆的三边AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，已知B（﹣
，0），C（
，0），内切圆圆心为I（1，t）（t≠0），设点A的轨迹为L．

（1）求L的方程；

（2）设直线y=2x+m交曲线L于不同的两点M，N，当|MN|=2
时，求m的值．

21．（12分）（2014?洛阳三模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若k∈Z，且k＜
对任意x＞1都成立，求k的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】

22．（10分）（2014?洛阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，AM⊥CP，垂足为M，CD⊥AB，垂足为D．

（1）求证：AD=AM；

（2）若⊙O的直径为2，∠PCB=30°，求PC的长．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．（2014?洛阳三模）已知直线l的参数方程为
，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣
）．

（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．

【选修4-5：不等式选项】

24．（2014?洛阳三模）已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|

（1）求不等式f（x）≥5的解集；

（2）当x∈[﹣2，2]时，关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，求实数t的取值范围．



三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．解：（1）由bsinA=
acosB及正弦定理得sinBsinA=
sinAsinB，

∵0＜A＜π，

∴sinA≠0，

∴sinB=
cosB，

即tanB=
，

∵0＜B＜π，

∴B=
．

（2）y=2sin2A+cos（
﹣2A）=1﹣cos2A﹣
cos2A+
sinA=
sin2A﹣
cos2A+1=
sin（2A﹣
）+1，

∵B=
，

∴0＜A＜
，

∴﹣
＜2A﹣
＜π，

∴当2A﹣
=
时，即A=
时，y有最大值
+1．

18．解：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1，

即a+b+c=0.35，

∵抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，

∴b=
=0.1，

等级编号为5的恰有4件，∴c=
=0.2，

∴a=0.35﹣b﹣c=0.05．

故a=0.05，b=0.10，c=0.20．

（2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件，

所有可能的结果为：

{x1，x2}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x1，y4}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，

{x2，y4}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共15个．

设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同”

则A包含的基本事件为：

{x1，x2}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共7个，

故所求概率为：p=
．

19．（1）证明：在Rt△DEF中，

∵ED=DF，∴∠DEF=45°，

在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，

∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，

∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，

∴EF⊥平面PBE，

∵EF?平面PEF，

∴平面PBE⊥平面PEF．

（2）解：在△PBE中作PO⊥BE，垂足为O，则

∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，

∴PO⊥平面PBE，

连接OF，则∠PFO为直线PF与平面BCDE所成的角．

设AB=4，由（1）得PB=4，PE=2，BE=2
，PO=
，OE=
AO=
，

∵OE⊥EF，∴EF=
，OE=
，

∴OF=
，

∴tan∠PFO=
=
．

20．解：（1）设点A（x，y），由题意得：

|AB|﹣|AC|=|BD|﹣|CP|=|BE|﹣|CE|=（
）﹣（
）=2，

根据双曲线定义知：点A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（除去点E），

∴l的方程为x2﹣y2=1，x＞1．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由
，得3x2+4mx+m2+1=0，

∵直线y=2x+m交x2﹣y2=1（x＞1）于不同的两点M，N，

∴方程3x2+4mx+m2+1=0的两根均在（1，+∞）内，

∴
，

∴m
，且m≠﹣2，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则
，
，

∴|MN|=

=
=
，

∵|MN|=2
，∴
=2
，

∴m2=12，

∵m＜﹣
，且m≠﹣2，∴m=﹣2
．

21．解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，

∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，

∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，

∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，

由f′（x）＞0得x＞
，由f′（x）＜0得0＜x＜
．

∴f（x）的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（
，+∞）．

（2）当x＞1时，令g（x）=
=
，则g′（x）=
，

设h（x）=x﹣2﹣lnx，则h′（x）=1﹣
=
＞0，

h（x）在（1，+∞）上为增函数，

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴?x0∈（3，4），且h（x0）=0，

当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．

∴g（x）min=g（x0）=
，

∵h（x0）=x0﹣2﹣lnx0=0，

∴x0﹣1=1+lnx0，g（x0）=x0，

∴k＜x0∈（3，4），∴k的最大值为3．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】

22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ABC+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠ABC，

∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P，

∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，

∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC，

∴△AMC≌△ADC，

∴AD=AM；

（2）解：∵∠PCB=30°，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，

∴∠PAC=∠PCB=30°，

在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，

∴BC=1，∠ABC=60°，

∴∠BPC=30°，

∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，

由切割线定理得PC2=PB?PA=PB（PB+BA）=3，

∴PC=
．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．解：（1）由
（t为参数）得直线l的普通方程为

又∵
，

∴
，

∴
，即
；

（2）由
得圆心C（1，
），半径r=2．

∴圆心C到直线l的距离d=
．

直线l与圆C相离．

∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是
．

【选修4-5：不等式选项】

24．解：（1）f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|=
，由式f（x）≥5，可得
①，或
②，或
．

解①求得x≥3，解②求得 2≤x＜3，解③求得 x≤﹣10．

故不等式的解集为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣10]．

（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣4，5]，∵关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，

∴5﹣|2t﹣3|≥0，即﹣5≤2t﹣3≤5，求得﹣1≤t≤4，

故t的范围为[﹣1，4]．

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