浙江省严州中学2015届高三3月阶段测试

理科数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集
，集合
则集合
=

A．
B．
C．
D．

2．已知等差数列
满足：
，则数列
的公差为

A．1 B．2 C．3 D．4

3．若
，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设
，那么

A．
B．
C．
D．

5．已知点
,
,
,若线段
和
有相同的中垂线，则点
的坐标是

A．
B．
C．
D．

6．已知角
均为锐角，且

A．3 B．
C．
D．

7．如图，已知双曲线
：

的右顶点为

为坐标原点，以
为圆心的圆与双曲线
的某渐近线交于两点
．若
且
，则双曲线
的离心率为

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
为R上的奇函数，当
时，

(
),若对任意实数
,则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。

9．
　 ▲ 　，值域为　 ▲ 　，不等式
的解集为　 ▲ 　．

10．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为　 ▲ 　，表面积为　 ▲ 　．

11．如果实数
满足：
,则
的取值范围

是　 ▲ 　，
的最大值为　 ▲ 　．

12．已知圆
，
内接于此圆，
点的坐标
．若
的重心
,则线段
的中点坐标为　 ▲ 　，直线
的方程为　 ▲ 　．

13．已知平面向量
则
的取值范围是　 ▲　．

14．如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形,

点
为
的中点，则面
将四棱锥

所分成的上下两部分的体积的比值为　 ▲ 　．

15．已知数列
满足
，
，若对任意的自然数

，恒有
，则
的取值范围为　 ▲ 　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分15分）在△ABC中，内角
所对的边分别是
，且满足：

又
.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积S．

17．(本题满分15分) 如右图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE＝BD＝2．

（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；

（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

18．(本题满分15分)已知动圆Q过定点
，且与直线
相切，椭圆
的对称轴为坐标轴，
点为坐标原点，
是其一个焦点，又点
在椭圆
上.

（Ⅰ）求动圆圆心
的轨迹
的标准方程和椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若过
的动直线
交椭圆
于
点，交轨迹
于
两点，设
为
的面积，
为
的面积，令
,试求
的最小值.

19.（本题满分15分）已知函数

,
，且
为偶函数．设集合
．

（Ⅰ）若
，记
在
上的最大值与最小值分别为
,求
；

（Ⅱ）若对任意的实数
，总存在

，使得
对
恒成立，试求
的最小值.

20. （本题满分14分）在单调递增数列
中，
，
，且
成等差数列，
成等比数列，
．

（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列
为等差数列；

（ⅱ）求数列
的通项公式.

（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，证明：
，
．

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

B

A

C

D

A

B

C





填空题：本大题共7小题，前4小题每题６分，后3小题每题4分，共36分。

9．
　　
　
10．

11．[
]
12．

13．
14．
15．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16．解：（1）∵

∴
, 又∵

∴
——————————————7分

（2）∵

∴
，

∴
即
—————————————12分

∴
,

又∵

∴
——————————————15分

17．（ⅰ）证明：取
的中点
,连接

又因为

为平行四边形，

. ————————————６分

（ⅱ）连接
，过
在面
内作
的垂线，垂足为

连接
．因为
，

又
　

　所以易证得
为二面角D－EC－B的平面角

在
中，
　
所以易求得

在直角
中，
,
,

所以二面角
的平面角的余弦值为
——————————15分

方法二：

取BD的中点为G，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立如图空间直角坐标系，则
,
,
,

取平面DEC的一个法向量

又
，

由此得平面BCE的一个法向量

则
，

所以二面角
的平面角的余弦值为

18．解：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：

——————————————3分

依题意可设椭圆N的标准方程为

显然有

∴椭圆N的标准方程为
——————————————５分

（2）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：

①

联立椭圆N的标准方程
有

——————————————７分

设
则有

又A（0,2）到直线m的距离

∴
； ——————————————10分

再将①式联立抛物线方程
有

，同理易得

∴
——————————————13分

∴

∴当
——————————————15分

19．解：（1）

为偶函数，

所以
．———————————3分

在区间
上，

　　　　　———————————6分

（2）设
　

　所以
的最大值为
　　依题意原命题等价于

在
上，总存在两个点

即只需满足在
上
　———————8分

因为对任意的
都成立，所以当
也成立，由（１）知　
————10分

，下面证明在
上总存在两点
使得

成立.

综上所述，
.　　———————————15分

20．解 （Ⅰ）

（ⅰ）因为数列
为单调递增数列，
，所以
（
）.

由题意得
，
，

于是

，

化简得

，

所以数列
为等差数列.——————４分

（ⅱ）又
，
，所以数列
的首项为
，

公差为
，所以
，从而
.

结合
可得
.

因此，当
为偶数时

，

当
为奇数时

.——————————８分

（2）所以数列
的通项公式为

.

因为

，

所以
，

，

所以
，
． ——————————14分

严州中学2015届高三三月阶段测试数学（理科）参考答案及评分标准

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

B

A

C

D

A

B

C





填空题：本大题共7小题，前4小题每题６分，后3小题每题4分，共36分。

9．
　　
　
10．

11．[
]
12．

13．
14．
15．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16．解：（1）∵