浙江省严州中学2015届高三3月阶段测试

文科数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集
，集合
则集合
=

A．
B．
C．
D．

2．已知等差数列
满足：
，则数列
的公差为

A．1 B．2 C．3 D．4

3．若
，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设
，那么

A．
B．
C．
D．

5．已知角
均为锐角，且

A．
B．
　　　　C．
　　　　D．

6．已知平面向量
则
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

7．已知定义在
上的奇函数
=
的图象如图所示，

则
的大小关系是

A．
B．

C．
D．

8．如图，已知双曲线
：

的右顶点为

为坐标原点，以
为圆心的圆与双曲线
的某渐近线交于两点
.若
且
，则双曲线
的离心率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。

9．
,值域为 ，不等式
的解集为 ．

10．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ,表面积为 ．

11．如果实数x,y满足：
,则
的取值

范围是 ，
的最大值为 ．

12．已知数列
则
，数列{an}的通项公式为 ．

13．已知点
,
,
,若线段
和
有相同的中垂线，则点
的坐标是 ．

14．在△ABC中，角
所对的边分别为
,
是

边上的高，且
，
,

则
．

15．如图，在四棱锥
中，底面
是平行四

边形，点
为
的中点，则面
将四棱锥

所分成的上下两部分的体积的比值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分15分）在△ABC中，角
所对的边分别是
，且满足：

又
.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积S．

17．(本题满分15分) 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，
.

(Ⅰ) 求证：直线EA⊥平面PAB;

(Ⅱ) 求直线AE与平面PCD所成角的正切值.

18．(本题满分15分) 已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
. 在数列
中，
，
．

（Ⅰ）求
，
；

（Ⅱ）设
求数列
的前项和
.

19．(本题满分15分)已知抛物线

,准线与
轴的交点为
.

(Ⅰ)求抛物线
的方程；

(Ⅱ)如图，
，过点
的直线
与抛物线
交于不同的两点
，AQ与BQ分别与抛物线
交于点C,D,设AB,DC的斜率分别为
，
的斜率分别为
，问：是否存在常数
，使得
，若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.

20．（本题满分14分）

已知函数

,
，且
为偶函数．设 集合
．

（Ⅰ）若
，记
在
上的最大值与最小值分别为
,求
;

（Ⅱ）若对任意的实数
，总存在

，使得
对
恒成立，试求
的最小值.

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

B

A

C

D

B

D

A





填空题：本大题共7小题，前4小题每题６分，后3小题每题4分，共36分。

9．
　　
　
　10．

11．[
]
12．

13．
14．
15．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16．解：（1）∵

∴
,又∵

∴
——————————————7分

（2）∵

∴
，

∴
即
————————————12分

∴
,

又∵

∴
——————————————15分

17．解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2

∴△AED是以∠AED为直角的Rt△

又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB

又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,

∴EA⊥平面PAB, ——————————————7分

（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点

∵CD⊥EA, CD⊥PA

∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE

∴AH⊥平面PCD

∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角————————11分

在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=

∴
———————————15分

18．解：（Ⅰ）由题意知
　　将
代入得

∴数列
是
为首项，2为公比的等比数列.

——————————４分

为等差数列，公差为
，
　

　即

　
　　　　　———————————８分

（Ⅱ）

…… ①

…… ②　　——————10分

①－②得

——————————————15分

19．解：(Ⅰ)
——————————4分

(Ⅱ)假设存在实数

设
的直线方程为
，
，
,
,

由
化简得：

所以
——————————7分

由
化简可得
，同理可得
——————————10分

易得
，
，

，

所以代入
得


所以存在

——————————15分

20．解：（1）

为偶函数，

所以
．———————————２分

在区间
上，

　　　　　———————————４分

（2）设
　

　所以
的最大值为
　　依题意原命题等价于

在
上，总存在两个点

即只需满足在
上　
　———————７分

因为对任意的
都成立，所以当
也成立，

由（１）知　
—————9分

，

下面证明在
上总存在两点
使得

成立.

综上所述，
.　　——————————————14分

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