金丽衢十二校2014学年第二次联合考试

数学试卷（理科）

本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为120分钟，试卷总分为150分。请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集
，集合
则集合
=

A.
B.
C.
D.

2．已知等差数列
满足：
，则数列
的公差为

A.1 B.2 C.3 D.4

３. 若
，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.设
，那么

A.
B.
C.
D.

5. 已知点
,
,
,若线段
和
有相同的中垂线，

则点
的坐标是

A.
B.
C.
D.

6. 已知角
均为锐角，且

A.3 B.
C.
D.

7. 如图，已知双曲线
:

的右顶点为

为坐标原点，以
为圆心的圆与双曲线
的某渐近线交于两点
.若
且
，则双曲线
的离心率为

A.
B.
C.
D.

8. 已知函数
为
上的奇函数，当
时，

(
),若对任意实数
,则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。

9.
　▲　，值域为　▲　，不等式
的解集为　▲　．

10. 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为　▲　，表面积为　▲　．

11.如果实数x,y满足：
,则
的取值

范围是　▲　，
的最大值为　▲　．

12. 已知圆
，
内接于此圆，
点的

坐标
．若
的重心
,则线段
的中点

坐标为　▲　，直线
的方程为　▲　．

13. 已知平面向量
则
的取值

范围是　▲　．

14. 如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形,

点
为
的中点，则面
将四棱锥
所

分成的上下两部分的体积的比值为　▲　．

15.已知数列
满足
，
，若对任意的自然数
，恒有
，则
的取值范围为　▲　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本题满分15分）在△ABC中，内角
所对的边分别是
，且满足：

又
.

（Ⅰ）求角A的大小 ；

（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积S．

17.(本题满分15分) 如右图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE＝BD＝2．

（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC;

（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

18.(本题满分15分)已知动圆
过定点
，且与直线
相切，椭圆
的对称轴为坐标轴，
点为坐标原点，
是其一个焦点，又点
在椭圆
上.

（Ⅰ）求动圆圆心
的轨迹
的标准方程和椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若过
的动直线
交椭圆
于
点，交轨迹
于
两点，设
为
的面积，
为
的面积，令
,试求
的最小值.

19.（本题满分15分）已知函数

,
，且
为偶函数．设集合
．

（Ⅰ）若
，记
在
上的最大值与最小值分别为
,求
;

（Ⅱ）若对任意的实数
，总存在

，使得
对
恒成立，试求
的最小值.

20. （本题满分１４分）在单调递增数列
中，
，
，且
成等差数列，
成等比数列，
．

（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列
为等差数列；

　　　（ⅱ）求数列
的通项公式.

（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，证明：
，
．

金丽衢十二校2014学年第二次联合考试

数学参考答案及评分标准（理科）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

B

A

C

D

A

B

C





填空题：本大题共7小题，前4小题每题６分，后3小题每题4分，共36分。

9、
　　
　
　10、

11、[
]
12、

13、
14、
15、

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16、解：（1）∵

∴
,又∵

∴
——————————————7分

（2）∵

∴
，

∴
即
——————————————12分

∴
,

又∵

∴
——————————————15分

17（ⅰ）证明：取
的中点
,连接

又因为

为平行四边形，

. ————————————６分

（ⅱ）连接
，过
在面
内作
的垂线，垂足为

连接
．

因为
，

又
　

　所以易证得
为二面角D－EC－B的平面角

在
中，
　
所以易求得

在直角
中，
,
,

所以二面角
的平面角的余弦值为
——————————１５分

方法二：

取BD的中点为G，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立如图空间直角坐标系，则
,
,
,

取平面DEC的一个法向量

又
，

由此得平面BCE的一个法向量

则
，

所以二面角
的平面角的余弦值为

18、解：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：

——————————————3分

依题意可设椭圆N的标准方程为

显然有

∴椭圆N的标准方程为
——————————————５分

（2）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：

①

联立椭圆N的标准方程
有

——————————————７分

设
则有

又A（0,2）到直线m的距离

∴
； ——————————————1０分

再将①式联立抛物线方程
有

，同理易得

∴
——————————————13分

∴

∴当
——————————————15分

19、解：（1）

为偶函数，

所以
．———————————3分

在区间
上，

　　　　　———————————6分

（2）设
　

　所以
的最大值为
　　依题意原命题等价于

在
上，总存在两个点

即只需满足在
上　
　———————8分

因为对任意的
都成立，所以当
也成立，由（１）知　
———————10分

，下面证明在
上总存在两点
使得

成立.

综上所述，
.　　———————————１５分

20.解 （Ⅰ）

（ⅰ）因为数列
为单调递增数列，
，所以
（
）.

由题意得
，
，于是

，化简得

，所以数列
为等差数列.——————４分

（ⅱ）又
，
，所以数列
的首项为
，公差为
，所以
，从而
.

结合
可得
.

因此，当
为偶数时

，当
为奇数时

.

——————————８分

（2）所以数列
的通项公式为

.

因为

，所以

，

，

所以
，
． ——————————１４分

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