机密★启用前 试卷类型：A

湖北省七市（州）2015届高三3月联合考试

数学（理工类）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．若复数z满足
，i为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是

A．（4，2） B．（4，-2） C．（2，4） D．（2，-4）

2．设集合
，
，那么“x∈A”是“x∈B”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

3．以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

④若某项测量结果
服从正态分布N（1，
），且P（
≤4）=0．9，则P（
≤-2）=0．1．

其中真命题的个数为

A．1 B．2 C 3 D．4

4．已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则
·
=

A．4 B．2 C．1 D．

5．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是

A．

B．

C．7

D．6

6．已知函数
的部分图象如图所示，为了得到
的图像，只需将
的图像

A．向左平移
个单位长度

B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度

D．向右平移
个单位长度

7．已知函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
，若数列
满足
，且
，则
=

A．6 B．-6 C．2 D．-2

8．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定谁先到后必须等10分钟，若等待10分钟后另一人还没有来就离开．如果甲是8：30分到达的，假设乙在8点到9点内到达，且乙在8点到9点之间何时到达是等可能的，则他们见面的概率是

A．
B．
C．
D．

9．过曲线
的左焦点F作曲线
的切线，设切点为M，延长FM交曲线
于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为

A．
B．
C．
+1 D．

10．设函数
在[-1，t]上的最小值为N（t），最大值为M（t），若存在最小正整数k，使得M（t）- N（t）≤k（t+1）对任意tt∈（-1，b]成立，则称函数
为区间（-1，b]上的“k阶
函数”，若函数
=x2为区间（-1，4]上的“k阶
函数”，则k的值为

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡相应位置上。）

（一）必考题（11-14题）

11．已知角
的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-3，4），则sin（
）= ▲ ．

12．若函数
的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则
的展开式中的常数项为 ▲ （用数字作答）．

13．执行如右图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数
的最大值为 ▲ ．

14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列
称为“斐波那契数列”．那么
是斐波那契数到中的第 ▲ 项．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC= ▲ ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线
与曲线
相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB= ▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设m=（a-b，c），n=（a-c，a+b），且m∥n．

（1）求∠B;

（2）若a=1，b=
，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

设
为公比不为1的等比数列，
=16，其前n项和为
，且5
、2
、
成等差数列．

（l）求数列
的通项公式；

（2）设
，
为数列
的前n项和.是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式
>
恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点．

（l）求证：EP⊥AC;

（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P-BD-C的大小．

20．（本小题满分12分）

十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

[65,75）



频数

6

10

12

12

5

5



赞成人数

3

6

10

6

4

3



（1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值；

（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

21．（本小题满分13分）

已知椭圆
，F1、F2为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上异于A、B的动点，且直线PA、PB的斜率之积为-
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分14分）

已知函数
（a∈R）．

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围；

（3）已知当x>-1,n≥1时，
，求证：当n∈N*，x2

2015年3月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试

数学(理工类)参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：A卷　DCBCB BCDBD　　　　　　B卷　BCCBB BACDA

二．填空题：11．
　　12．15　　13．3　　14．2016　　15．
　　16．

三．解答题：

17．(1)解：∵m∥n，∴
2分∴
3分由余弦定理得：
5分又
． 6分

(2)解：∵
，由正弦定理得
，∴
8分∵a < b，∴A < B，∴
10分故
11分∴
． 12分

18．(1)解：∵5S1、2S2、S3成等差数列∴
，即
2分∴
∵
，∴q = 2 4分又∵
，即
，
∴
． 5分

(2)解：假设存在正整数k使得对于任意n∈N*不等式
都成立则
7分又
9分所以
10分显然Tn关于正整数n是单调递增的，所以
∴
，解得k≥2． 11分所以存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式
都成立且正整数k的最小值为
． 12分

19．(1)证：设AC交BD于O，∵S－ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC 1分又∵BD⊥AC，
又∵
，∴
. 4分

(2)解：设AB = 2，如图建立空间直角坐标系，则G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，
)，F(
，
，
)，B(1，
，0) 5分∴
设
，故点
∴
6分设面EFG的法向量为n = (abc)∵
∴
，令a = 1得n = (1，1，0) 7分设BP与平面EFG所成角为
，则
=
8分∵点P在线段FG上，∴
，即
=1时
取最大值此时点P与点F重合 9分设二面角P－BD－C的大小为
∵点P到平面ABCD的距离为
，点P到BD的距离为1 10分则
∴二面角P－BD－C的大小为
． 12分

20．(1)解：赞成率为
2分被调查者的平均年龄为20×0.12 + 30×0.2 + 40×0.24 + 50×0.24 + 60×0.1 + 70×0.1 = 43 4分

(2)解：由题意知：



8分∴
的分布列为：
∴
． 12分

21．(1)解：
，设
，则
依题意
，得
，∴椭圆标准方程为
4分

(2)解：①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = kx + p，代入椭圆方程得 (1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2－8 = 0 5分因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点所以△=16k2p2－4(1 + 2k2)(2p2－8) = 8(4 + 8k2－p2) = 0，即4 + 8k2 = p2 7分设x轴上存在两个定点(s，0)，(t，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为4，则
即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*)，或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**)由(*)恒成立，得
，解得
11分(**)不恒成立.②当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为
时定点(－2，0)、F2(2，0)到直线l的距离之积
. 综上，存在两个定点(2，0)、((2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4． 13分

注：第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点，则扣2分；第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点，再给予一般性证明也可。

22．(1)解：
1分当a≤0时，
，则
在
上单调递增 2分当a > 0时，
在
上单调递减，
在
上单调递增． 4分

(2)解：由
，得
5分考查函数
(x∈[1，2])，则
6分令
，
当1≤x≤2时，
，∴
在[1，2]上单调递增 7分∴
,
，∴
在[1，2]上单调递增 ∴
在[1，2]上的最小值为
，最大值为
8分∴当
时，函数
在[1，2]上有且仅有一个零点 9分

(3)解：
10分由(1)知
，则
11分∵
，且n∈N*，∴
，∴
12分又∵
，∴
13分
14分