2015年湖北省八市高三年级三月联考

数 学（文史类）

本试卷共4页，共22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2. 选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：每小题5分，10小题共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
等于

A．
B．
C．
D．

2．已知
，
，
，则

A．
B．

C．
D．

3．有下列关于三角函数的命题

，若
，则
；

与函数
的图象相同；

；

的最小正周期为
．其中真命题是

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

4．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系
、
、

三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为

A．94 B．32

C．64 D．16

5．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(oC)之间的

关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，

并制作了对照表：

气温(oC)

18

13

10

－1



用电量(度)

24

34

38

64



 由表中数据得到线性回归方程
，当气温为－4 oC时，预测用电量约为

A． 68度 B．52度 C．12度 D．28度

6．从半径为r的圆内接正方形的4个顶点及圆心5个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为

A．
B．
C．
D．

7．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式
给定，若
为D上任一点，

点A的坐标为
，则
的最大值为

A．3 B．4 C．
D．

8．函数
在区间[0，3]上的零点的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

9．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．

10．设函数
，
，若
的解集为M，
的解集为N，当
时，则函数
的最大值是

A．0 B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡上对应题号后的横线上。答错位置，书写不清，模棱两可不得分。

11．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了

其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得

数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图

如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲

株树木的底部周长小于100cm．

12. 已知向量
，
，向量
，用
，
表示向量
，则
= ▲ ．

13．设
为等比数列，其中
，
，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出结果为 ▲ ．

14．在
中，
，
，
，则
▲ ．

15．已知函数
，其中
，若曲线
在点
处的切线垂直于直线
，则切线方程为 ▲ ．

16．在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率为 ▲ ．

17．设
是一个平面，
是平面
上的一个图形，若在平面
上存在一个定点A和一个定角
，使得
上的任意一点以A为中心顺时针（或逆时针）旋转角
，所得到的图形与原图形
重合，则称定点A为对称中心，
为旋转角，
为旋转对称图形．若以下4个图形，从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们都是旋转对称图形，则它们的最小旋转角依次为 ▲ ；若
是一个正n边形，则其最小旋转角用n可以表示为 ▲ ．

三、解答题:本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

18. 本题满分12分）已知函数
在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为

图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．

（Ⅰ）求
与
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求
的值．

19．（本题满分12分）已知正项数列
的前
项和为
，且
，
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，且
成等比数列，当
时，求
．

20．（本题满分13分）如图，
是底面边长为2，高为
的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设

．

（Ⅰ）证明：PQ∥A1B1；

（Ⅱ）是否存在
，使得平面
截面
？

如果存在，求出
的值；如果不存在，请说明理由．

21．（本题满分14分）已知函数
在
处取得极值．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若关于x的方程
在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

22．（本题满分14分）椭圆
的上顶点为
是
上的一点，以

为直径的圆经过椭圆
的右焦点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）动直线
与椭圆
有且只有一个公共点，问：在
轴上是否存在两个定点，它们到直线
的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．

2015年湖北省八市高三年级三月联考

数学（文史类）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D

二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分。

11．24 12．
13．4 14．1 15．

16．
17．
；
（说明前一个空2分，后一个空3分）

三、解答题：本大题共5小题，共65分。

18．（Ⅰ）解：由已知可得
…………………3分

BC=
=4，
…………………………………… 4分

由图象可知，正三角形
ABC的高即为函数
的最大值
，

得
………………………………………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

即
∵
，

∴
∴
…………………8分

∴

………………………………12分

19．解：（Ⅰ）由
，得

当
时，

整理，得
………………………………………2分

…………………………………4分

所以，数列
是首项为1，公差为3的等差数列。

故
………………………………………………………6分

（Ⅱ）
是首项为1，公比为10的等比数列.

，…………………………………………………………8分

又
，

……………………………………………………12分

20．（Ⅰ）证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，

且截面
上底面
=PQ，截面
下底面ABC=AB，

由两个平面平行的性质定理可得

……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在这样的
满足题设，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接DE，

由（Ⅰ）及正三棱柱的性质可知
为等腰三角形，APQB为等腰梯形，

　

为二面角A－PQ－C的平面角，………………………………………8分

连接
并延长交
于F，由（Ⅰ）得，

………………………………………………………9分

在
中求得
，在
中求得

若平面
截面
，则

，

，将以上数据代入整理，

得
，解得
…………………………………………………13分

21．（Ⅰ）
………………………………………………………………2分

∵
时，
取得极值，∴
………………………………………3分

故
，解得
，

经检验当
时，
在
处取得极大值符合题意，∴
……………4分

（Ⅱ）由
知
，由

得
，

令
，

则
在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于
在[0，2]上恰有两个不同的实数根．

………………………………………6分

当
时，
，于是
在
上单调递增；……………… 7分

当
时，
，于是
在
上单调递减；……………… 8分

依题意有

………………………………………………11分

解得
，

所以实数b的取值范围是
………………………………14分

22．（Ⅰ）
，由题设可知
，得

①……………………1分

又点P在椭圆C上，
②

③……………………3分

①③联立解得，
………5分

故所求椭圆的方程为
…………………………………………6分

（Ⅱ）方法1：设动直线
的方程为
，代入椭圆方程，消去y，整理，

得
（﹡）

方程（﹡）有且只有一个实根，又
，

所以
得
…………………………………………………………8分

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立.

所以，
解得，

所以，存在两个定点
，它们恰好是椭圆的两个焦点．……13分

方法2：根据题设可知动直线
为椭圆的切线，其方程为

，且

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立，所以，

解得，

所以，存在两个定点
，它们恰好是椭圆的两个焦点．……14分

命题人：天门市教科院 刘兵华

仙桃市教科院 曹时武

随州市曾都一中 刘德金

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