天水一中2015届第一次模拟考试数学试题（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）

1．集合
，
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设
是虚数单位，复数
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知
,则
( )

A．

B．
C．
D．

4.函数
的图像关于原点对称，
是偶函数，则

A.1 B.
C.
D.

5.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程
中的
，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为

A．51个 B．50个 C．49个 D．48个

6.下列说法正确的是

A．命题“

，
”的否定是“

，
”

B．命题 “已知

，若
，则
或
”是真命题

C．“
在
上恒成立”
“
在
上恒成立”

D．命题“若
，则函数
只有一个零点”的逆命题为真命题

7．在
中,已知
,且
,则
( )

A.
B.
C.
D.

8.已知函数
的周期是
，将函数
的图象沿
轴向右平移
个单位，得到函数
的图象，则函数
（ ）

A.
B.
C.
D.

9．设函数
，则其零点所在的区间为（ ）

A．（-1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

10.如图所示的程序框图的输入值
，则输出值
的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

11．抛物线
的焦点为
，
为抛物线
上一点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切（
为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则
（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

12．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为
，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为
,则
（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13.如图，已知可行域为△ABC及其内部，若目标函数z=kx+y，当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围是 .

14.已知函数
，则
的解集为

15.若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有

16、在平面直角坐标系
中，点
，直线
，设圆
的半径为1，圆心在
上，若圆
上存在点M，使
，则圆心
的横坐标
的取值范围为

三、解答题（共70分）

17.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手
三人进行上网投票，结果如下

观众年龄

支持

支持

支持



20岁以下

200

400

800



20岁以上（含20岁）

100

100

400





（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取
人，其中有6人支持
，求
的值.

（2）在支持
的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人， 求恰有1人在20岁以下的概率.

18.(本小题满分12分)

已知公差不为0的等差数列
的前n项和为
，
，且
成等比数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和.

19．如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）
中，
是
的中点，
．

（1） 求证：
∥平面
；

（2）求点
到平面
的距离．

20.已知椭圆C的方程是
，倾斜角为
的直线
过椭圆的右焦点且交椭圆于
两点。

（1）若椭圆的左顶点为（-2，0），离心率
，求椭圆C的方程；

（2）设向量
，若点
在椭圆C上，求
的取值范围。

21．已知函数
在
与
时都取得极值．

（1）求
的值；

（2）若对
，不等式
恒成立，求
的取值范围．

22.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．

（1）证明：∠D=∠E；

（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

23.在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数方程为:
（
为参数），M是C1上的动点，P点满足
,P点的轨迹为曲线C2.

(1)求C2的方程;

(2)在以O为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
.

24.已知函数
,

（1）当
时，求不等式
的解集;

（2）若
的解集包含
，求
的取值范围.

天水一中2015届第一次模拟考试

数学答案（文科）

1.【答案解析】A 解析：由
，得
=2，所以
,
.即
，
，因此

2.【答案】【解析】A 解析：复数

．故选：A．

3.【答案解析】C ∵cos（x-
）=-
，∴cosx+cos（x-
）=cosx+cosxcos
+sinxsin

=
cosx+
sinx=
（
cosx+
sinx）=
cos（x-
）=
×（-
）=-1故选C．

【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将cosx+cos（x-
）化为
cos（x-
）即可．

4.【答案】D 解析：∵
关于原点对称，∴函数
是奇函数，

∴
∵
是偶函数，∴
对任意的
都成立，∴
，∴
，

∴
对一切
恒成立，∴
，∴
，故选：D

【思路点拨】由题意可得
对任意的
都成立，代入整理可求
；由题意可得
对任意的
都成立，代入整理可求
。

5.【答案】【解析】C 解析：由题意知
，代入回归直线方程得


，故选

【思路点拨】由题意求出x的平均值再根据公式求出y的平均值，代入回归方程可直接求出结果.

6.【答案解析】A、“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x0∈R，ex≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”?“（
）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x-1有一个零点时，a=-1”，∵f（x）有一个零点时，a=-1或a=0；∴命题错误．故选：B．

【思路点拨】B. A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（
）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．

7.【答案】A

【解析】

试题分析：因为，
，所以，
，

，故选A。

8.【答案解析】B ∵函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是
=π，∴ω=2．将函数y=3cos（ωx-
）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移
个单位，得到函数y=f（x）=3cos[2（x-
）-
]=3cos（2x-
-
）=3sin（2x-
）的图象故选B．

【思路点拨】由条件根据诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．

9.【答案】C

【解析】

试题分析：因为
，
，
，
，
，且
，所以，函数的零点在区间（1，2）内.

10.【答案】【解析】B 解析：由程序框图可知，输出的y值是函数
在
时的值域，所以输出值
的取值范围为
，故选B.

【思路点拨】由框图得其描述的意义，从而得到输出值
的取值范围.

11.【答案】B

试题分析：设
的外接圆圆心为
，且半径为3，由已知得点
到抛物线准线的距离等于
，故点
在抛物线上，且点
的横坐标为
，由抛物线定义得，
，所以

考点：抛物线的标准方程和定义.

12.【答案】D 解析：三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是
，该几何体的外接球的体积V1=
，V2=
，∴V1：V2=
，故选D

．.

【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果．

13.

14.【答案】【解析】
解析：

.

15.【答案解析】 ② ③

①x2-y2=1?是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=
，

在?x=
和?x=-
?处的切线都是y=-
，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=
，sinφ=
，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=
，即?x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．

【思路点拨】①x2-y2=1?是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在?x=
?和?x=-
处的切线都是y=-
，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．

16.【答案】【解析】
解析：解：设点M（x，y），由MA=2MO，知，
化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，

故答案为：
．

17.【答案解析】（1）40（2）（2）

（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人