2015年3月长望浏宁高三模拟考试

文科数学试卷

时量：120分钟 总分150分

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、复数
，则
的模为

A．
B．
C．
D．

2、函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

3、根据如下样本数据

x

3

4

5

6

7



y

4.0

2.5


0.5

0.5


2.0





得到的回归方程为
.若
，则
每增加1个单位，
就

A．增加
个单位； B．减少
个单位； C．增加
个单位； D．减少
个单位.

4、“
为真命题”是“
为真命题”的

A、充分不必要条件； B、必要不充分条件； C、充要条件； D、非充分非必要条件

5、将函数
的图象向右平移
个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为

A.
B.
C.
D.

6、已知
是圆
：
内一点，现有以
为中点的弦所在

直线
和直线
：
，则

A．
，且
与圆相交 B．
，且
与圆相交

C．
，且
与圆相离 D．
，且
与圆相离

7、执行如图所示的程序框图，输出的x值为

A．7 B.6 C.5 D.4

8、已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的外接球的半径是

A．
B．
C．2 D．

9、设a为大于1的常数，函数
若关于x的方程
恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是

A．0＜b≤1 B．0＜b＜1 C．0≤b≤1 D．b＞1．

10、如图，正
的中心位于点G
，A
，动点P从A点出发沿
的边界

按逆时针方向运动，设旋转的角度
，向量
在
方向的投影

为y（O为坐标原点），则y关于x的函数
的图像是

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、设集合
，
，则集合
= .

12、在极坐标系中，点
到直线
的距离是 ．

13、设实数
满足
，则目标函数
的最小值为 ．

14、如图，直线
与圆

及抛物线
依次交于A、B、C、D四点，则

.

15、若存在实数
，使得
，则实数
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

已知数列
满足
=5，且其前
项和
．

（Ⅰ）求
的值和数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
为等比数列，公比为
，且其前
项和
满足
，求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）

某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A，B两种放假方案，调查结果如下表（单位：万人）：

人群

青少年

中年人

老年人



支持A方案

200

400

800



支持B方案

100

100





已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率.

18、（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是矩形，且平面

平面
，
，
．

（Ⅰ）若点
是
的中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）若点
在线段
上，且
，当三棱锥
的体积为
时，求实数
的值.

19. (本小题满分13分)

设函数

（Ⅰ）求
的最小正周期及值域；

（Ⅱ）已知
中，角
的对边分别为
，若
，
，
，求
的面积．

20、（本小题满分13分）

如图所示的“8”字形曲线是由两个关于
轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是
，双曲线的左、右顶点
、
是该圆与
轴的交点，双曲线与半圆相交于与
轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为
、
，试在“8”字形曲线上求点
，使得
是直角．

21．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
为常数，且
．

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；

（2）若函数
在区间
上的最小值为
，求
的值．

2015年3月长望浏宁高三模拟考试

文科数学

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

B

B

A

C

B

B

A

C



二、填空题：（每小题5分，共25分）

11、
；12、
；13、－2；14、14；15、
.

三、解答题：（共75分）

16、（12分）（Ⅰ）解：由题意，得
，
，

因为
，
， 所以
，

解得
. 3分

所以
．

当
时，由
， 4分

得
. 5分

验证知
时，
符合上式，所以
，
. 6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得
. 8分

因为
， 所以
，

解得
． 11分

又因为
，所以
的取值范围是
． 12分

17、（12分）（Ⅰ）由题意得：
得n=400 4分

（Ⅱ）支持A方案的有：
人，支持B方案的有：
人 6分

设将支持A方案的4人标记为：1,2,3,4，将支持B方案的2人标记为：a,b.

设M表示事件“支持B方案恰好1人”，所有基本事件为：（1,2）,（1,3）,（1,4）,

（1，a）,（1,b）,（2,3）,（2,4）,（2,a）,（2,b）,（3,4）,（3,a）,（3,b）,（4,a）,

（4,b）,（a,b）共15种 9分

其中满足条件的有（1，a）,（1,b）,（2,a）,（2,b）,（3,a）,（3,b）,（4,a）,（4,b）

共8种. 11分

故
答：恰好有1人“支持B方案”的概率为
12分

18、（12分）（Ⅰ）如图，连接
，设
，又点
是
的中点，

则在
中，中位线
//
， 3分

又
平面
，
平面
。

所以
平面
5分

（Ⅱ）依据题意可得：
，取
中点
，所以
，且

又平面

平面
，则

平面
； 6分

作
于
上一点
，则

平面
，

因为四边形
是矩形，所以

平面
，

则
为直角三角形 8分

所以
，则直角三角形
的面积为

10分

由
得：
12分

19、（13分）（Ⅰ）
=
， 3分

所以
的最小正周期为
， 4分

∵
∴
，故
的值域为
. 6分

（Ⅱ）由
，得
，

又
，得
， 8分

在
中，由余弦定理，得
=
， 9分

又
，
，所以
，解得
， 11分

所以，
的面积
13分

20、（13分）（1）设双曲线的方程为
，在已知圆的方程中，令
，

得
，即
，则双曲线左、右顶点为
、
，于是
2分

令
，可得
，解得
，

即双曲线过点
，则
∴
. 4分

所以所求双曲线方程为
6分

（2）由（1）得双曲线的两个焦点
，
7分

当
时，设点
，

点
在双曲线上，得
，

由
，得