2015年3月长望浏宁高三模拟考试

理科数学试卷

时量：120分钟 总分150分

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、集合
，则

A．
B．
C．
D．

2、设
，则
是
的

A．充要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3、已知函数
是偶函数，且
，则

A．－3 B．－1 C．1 D．2

4、
的展开式的常数项是

A．2 B．3 C．-2 D． -3

5、如下图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，
＝x
＋y
，且
＝3
，则

A、x＝
，y＝
B、x＝
，y＝

C、x＝
，y＝
D、x＝
，y＝

6、定义运算
为执行如图所示的程序框图

输出的S值，则
的值为

A．2 B．-2 C．-1 D．1

7、已知最小正周期为2的函数
在区间

上的解析式是
，则函数

在实数集R上的图象与函数

的图象的交点的个数是

A．3 B．4

C．5 D．6

8、已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是

边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为

9、如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(
,—1)，C(
,1)，D(0,1)，

正弦曲线
和余弦曲线
在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD

区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是

A．
B．
C．
D．

10、若数列
满足：存在正整数
，对于任意正整数
都有
成立，则称数列
为周期数列，周期为
.已知数列
满足
，
则下列结论中错误的是

A. 若
，则
可以取3个不同的值；

B. 若
，则数列
是周期为3的数列；

C.
且
，存在
，数列
周期为
；

D.
且
，数列
是周期数列.

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，若全做，则按前两题记分）

11、在直角坐标系xOy中，直线
的参数方程为
（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
，则直线
和曲线C的公共点有 个．

12、如右上图，圆O的直径AB = 8，C为圆周上一点，BC = 4，过C作圆的切线
，过A作直线
的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 ．

13、若
,则
的最小值为________.

（二）必做题（14-16题）

14、设实数
满足
，向量
．若
，则实数m的最小值为 ．

15、已知两定点A(－1，0)和B(1，0),动点
在直线
上移动，椭圆C

以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 .

16、若函数
在定义域内给定区间[a,b]上存在
，满足
，则称函数
是[a,b]上的“平均值函数”，
是它的一个均值点．例如
是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．若函数
是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？

（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记
为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求
的分布列和数学期望.

18、（本小题满分12分）

如图，摩天轮上一点
在
时刻距离地面高度满足

，已知某摩天轮的半径为
米，点
距地面的高度为
米，摩天轮做匀速转动，每
分钟转一圈，点
的起始位置在摩天轮的最低点处．

（1）根据条件写出
（米）关于
（分钟）的解析式；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点
距离地面超过
米?

19、 (本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中，
,四边形
是菱形，

且
交于点
，
是
上任意一点.

（1）求证：
；

（2）已知二面角
的余弦值为
，若
为

的中点，求
与平面
所成角的正弦值.

20、（本小题满分13分）

为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10000辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车
辆，混合动力型公交车
辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加
，混合动力型车每年比上一年多投入
辆．设
、
分别为第
年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设
、
分别为
年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。

（1）求
、
，并求
年里投入的所有新公交车的总数
；

（2）该市计划用
年的时间完成全部更换，求
的最小值．

21、（本小题满分13分）

如图，已知圆E:
，点
，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

（Ⅰ）求动点Q的轨迹
的方程；

（Ⅱ）设直线
与(Ⅰ)中轨迹
相交于
两点, 直线
的斜率分别为
(其中

)．△
的面积为
, 以
为直径的圆的面积分别为
．若
恰好

构成等比数列, 求
的取值范围．

22、（本小题满分13分）

已知
．

(1)若
，函数
在其定义域内是增函数，求
的取值范围；

(2)
的图象与
轴交于
)两点,
中点为
，求证：平面
．

2015年3月长望浏宁高三模拟考试

理科数学

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

A

B

D

A

C

B

B

D



二、填空题：（每小题5分，共25分）

11、1；12、4；13、
；14、－2；15、
；16、(0,2).

三、解答题：（共75分）

17、（12分）解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为
、
、
，则
分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
．共有8种； 2分

其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：
，
，
，
，共有4种． 3分

根据古典概型的概率公式，所求的概率为
． 4分

（说明：若学生先设“用
中的
依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成
,
,
，
,
,
,
,
，不扣分．）

（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为
，不接受挑战的概率也为
． 5分

所以
，
，

，
，

，
，

9分

0

1

2

3

4

5

6





















故
的分布列为：

所以
．

故所求的期望为
． 12分

解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为
，不接受挑战的概率也为
． 1分

（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，

则
． 4分

（Ⅱ）因为
为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以
． 5分

所以
，
，

，
，

，
，

9分

故
的分布列为： 10分

0

1

2

3

4

5

6





















所以
．故所求的期望为
． 12分

18、（12分）（1）由题设可知
，
， 1分

又
，所以
， 3分

从而
，再由题设知
时
，

代入
，得
，从而
， 5分

因此，
. 6分

（2）要使点
距离地面超过
米，则有
， 8分

即
，又
解得
，

即
10分

所以，在摩天轮转动的一圈内，点
距离地面超过
米的时间有
分钟. 12分

19、（12分）（1）因