2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷

数学（文科）

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用O．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡相应位置．

1．已知

，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2． 已知复数
（
，i为虚数单位）在复平面上对应的点为M，则“
且
”是“点M在第四象限”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．抛物线
的准线方程是（ ）

A．x=－2 B．x=－1 C．y=－2 D． y=－1

4．根据如下样本数据

6

8

10

12





2

3

5

6



得到的线性回归方程为
，则
的值为 （ ）

A．－2 B．－ 2．2 C．－2．3 D．－2．6

5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的k的值等于（ ）

A．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6

6．若实数
满足不等式组
则
的最大值是（ ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

7．已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－x，则不等式f(x）>0的解集为（ ）

A．（－∞，－1）∪（0，1） B．（－∞，－1）∪（1，+∞）

C．（－1，0）∪（0，1） D．（－1，0）∪（1，+∞）

8．已知
若向量
与
垂直，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．请在“垂直于同一 ① 的两 ② 平行”①和②处中填入“直线”或“平面”，使之组成四个不同的命题，则其中真命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知双曲线
的一个焦点在圆
上，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．
B．
C．
D．

11．函数
的导函数
的图象是如图所示的一条直线，该直线与
轴的交点坐标为（1，0），则
与
的大小关系是（ ）

A．
B．

C．
D．无法确定

12．如图，
所在平面上的点
均满足
，
（其中，
是以1为首项的正项数列），则
等于（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．

13．若集合
则集合
= ．

14． 某校对100名参加“妈祖杯”知识竞赛的选手成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则在这100名学生中，成绩不低于80分的人数为 ．

15．函数
的一条切线与直线
垂直，则该切线方程为_______．

16．定义：
表示不超过
的最大整数．例如：
，
．给出下列结论：

①函数
是周期为
的周期函数；

②函数
是奇函数；

③函数
的值域是
；

④函数
不存在零点．

其中正确的是_____________．（填上所有正确结论的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 把答案填在答题卡相应位置．

17．（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的首项为1，公差d≠0，且a1，a2，a4成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式与前n项和Sn；

（Ⅱ）设
（
），求使不等式
成立的最小正整数n．

18．（本小题满分12分）

已知函数
经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下：

①













0

1

0

－1

0



（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）
的内角
所对的边分别为
，已知
，
求
的面积．

19．（本小题满分12分）

《聪明花开——莆仙话挑战赛》栏目共有五个项目，分别为“和一斗”、“斗麻利”、“文士生”、“讲头知尾”、“正功夫”．《聪明花开》栏目组为了解观众对项目的看法，设计了“你最喜欢的项目是哪一个 ”的调查问卷（每人只能选一个项目），对现场观众进行随机抽样调查，得到如下数据（单位：人）：

合一斗

斗麻利

文士生

讲头知尾

正功夫



115

230

115

345

460



（I）在所有参与该问卷调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人座谈，其中恰有4人最喜欢“斗麻利”，求n的值及所抽取的人中最喜欢“合一斗”的人数；

（II）在（I）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，任选2人参加栏目组互动，求恰有1人最喜欢“合一斗”的概率．

20．（本小题满分12分）

已知四边形ABCD为平行四边形，
，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面
平面ABCD．

(Ⅰ)求证：
平面ADF；

(Ⅱ)若M为CD中点，证明在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，且MN//平面BDF，并求出此时三棱锥N—ADF的体积．

21． （本小题满分12分）

如图，O为坐标原点，椭圆
：
（
）的左、右焦点分别是F1、F2，上顶点为P，离心率e=
．直线PF2交椭圆
于另一点Q，△PQF1的周长为8．

（I）求椭圆
的方程；

（II）若点R满足
，求△PQR的面积；

（III）若M、N为椭圆E上异于点P的两动点，试探究：是否存在点M、N，使得△PMN为正三角形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求证：对任意给定的正数
，总存在实数
，使函数
在区间
上不单调；

（Ⅲ）试探究：是否存在实数
，使当
时，函数
的值域为
？若存在，试确定实数
的取值范围；若不存在，说明理由．

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1．A?2．A?3．B?4．C?5．C?6．D?7．D?8．C?9．B?10．A?11．B?12．C

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共4小题，每小题4分，满分16分．

13．{1，2}?14．25?15．4x+y+3=0?16．①③④

三、本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查等差、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）因为a1，a2，a4成等比数列，所以a1a4=a22 ．…………………………………1分

即a1(a1+3d)=(a1+d)2，解得d=1或d=0（舍去）． …………………………………………2分

所以an=1+(n－1)1=n，………………………………………………………………………4分

．………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，…………………………………………7分

所以
．…………9分

解
，解得n>9，…………………………………………………………………………11分

所以使不等式成立的最小正整数为10．……………………………………………………12分

18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）①处应填入
．…………………1分

……………3分

．………………4分

因为T=
，所以
，
，
．…………5分

令
，
，得
，

所以函数
的单调递增区间为

．……………7分

（Ⅱ）因为

，…………8分

解法一：由余弦定理得

，

得
，
．…………10分

所以
的面积
．………12分

解法二：由正弦定理得
，

所以
，
，而
，………8分

所以

，………10分

即
，因为
，
，所以
．

因此
为等边三角形，其面积
． ……12分

19．本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．

解（I）由已知得
，解得n=22．…………3分

抽取的人中最喜欢“合一斗”有
(人)．……………5分

（II）从（I）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，最喜欢“合一斗”的有2人，记为A1、A2，最喜欢“斗麻利”的有4人，记为B1、B2、B3、B4．…………………6分

从中随机抽取2人，所有的可能结果共有15种，它们是: (A1， A2)、(A1， B1)、(A1， B2)、(A1， B3)、(A1， B4)、(A2， B1)、(A2， B2)、(A2， B3)、(A2， B4)、 (B1， B2)、(B1， B3)、(B1， B4)、(B2， B3)、(B2， B4)、(B3， B4)．…………9分

其中，恰有1人最喜欢“合一斗”的可能结果共有8种，它们是：(A1， B1)、(A1， B2)、(A1， B3)、(A1， B4)、(A2， B1)、(A2， B2)、(A2， B3)、(A2， B4)．

故所求的概率P=
．…………12分

20．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

(Ⅰ)证：正方形ABEF中，AF⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF
平面ABEF，

平面ABEF
平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD．

又∵BD
平面ABCD，∴AF⊥BD． ……………3分

又
，AF
AD=A，AF、AD
平面ADF，∴
平面ADF．……………5分

(Ⅱ)解：当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF，且MN//平面BDF． ……………6分

证明如下：正方形ABEF中，NF

BA，

平行四边形形ABCD中，MD

BA，
NF
MD，

四边形NFDM为平行四边形，
MN//DF． ……………7分

又DF
平面ADF，MN
平面ADF，∴MN//平面ADF，

同理可证MN//平面BDF． ……………9分

过D作DH
AB于H，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又DH
平面ABCD，平面ABEF
平面ABCD=AB，∴DH⊥平面ABEF．

在Rt?ABD中，AB=2，BD=AD，∴DH=1，……………10分

所以
．……………12分

21．本小题主要考查平面向量、点到直线的距离、椭圆的定义与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想．满分12分．

解法一：（Ⅰ）由已知可得，
，4a=8，所以a=2，c=1．·……………2分

又由
，解得
，

所以椭圆
的方程为
．……………3分

（Ⅱ）因为
，所以
，

所以R，O，Q三点共线，且R在椭圆E上．……………4分

直线PF2的方程为y=
(x－1)，由
得5x2－8x=0，解得x=
或x=0，……………5分

所以P（0，
），Q（